《椭圆及其标准方程》教学设计

　　1、掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；

　　2、能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；

　　3、通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；

　　4、通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力；

　　5、通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识、

　　教材分析　

　　1、知识结构　

　　2、重点难点分析　

　　重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式、难点是椭圆标准方程的建立和推导、关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法　

　　椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程、椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用、先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然、学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的、　

　　（1）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解

　　另外要注意到定义中对“常数”的限定即常数要大于、这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即：“当常数等于时轨迹是一条线段；当常数小于时无轨迹”、这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质、但讲解椭圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况，以保证对椭圆定义的准确性、

　　（2）根据椭圆的定义求标准方程，应注意下面几点：　

　　①曲线的方程依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方、应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行推理，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁、　

　　②设椭圆的焦距为，椭圆上任一点到两个焦点的距离为，令，这些措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁，要让学生认真领会、

　　③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是学生的难点、要注意说明这类方程的化简方法：

　　①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；

　　②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项、　

　　④教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程“而没有证明，”方程的解为坐标的点都在椭圆上”、这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求、　

　　（3）两种标准方程的椭圆异同点　

　　中心在原点、焦点分别在轴上，轴上的椭圆标准方程分别为：

　　它们的相同点是：形状相同、大小相同，

　　不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同、　

　　椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大；　

　　椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大、　

　　另外，形如中，只要同号，就是椭圆方程，它可以化为、　

　　（4）教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法、例3有三个作用：第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法；第二是向学生说明，如果求得的`点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆、　

　　教法建议　

　　（1）使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习兴趣、　

　　为激发学生学习圆锥曲线的兴趣，体会圆锥曲线知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中提出圆锥曲线要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还可以启发学生寻找身边与圆锥曲线有关的例子。　

　　例如，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的轨道——椭圆上运行，太阳系的其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上、如果这些行星运动的速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行、人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵循这个原理、相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一个物体的运动，不可能有任何其他的轨道、因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式，另外，工厂通气塔的外形线、探照灯反光镜的轴截面曲线，都和圆锥曲线有关，圆锥曲线在实际生活中的价值是很高的、

　　（2）安排学生课下切割圆锥形的事物，使学生了解圆锥曲线名称的来历　

　　为了让学生了解圆锥曲线名称的来历，但为了节约课堂时间，教学时应安排让学生课后亲自动手切割圆锥形的萝卜、胶泥等，以加深对圆锥曲线的认识、　

　　（3）对椭圆的定义的引入，要注意借助于直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念。　

　　教师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道，谈到圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等，让学生先对椭圆有一个直观的了解。

　　教师可事先准备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆。画好后，教师再在黑板上取两个定点（两定点之间的距离大于细线的长度），然后再请刚才两名学生按同样的要求作图。学生通过观察两次作图的过程，总结出经验和教训，教师因势利导，让学生自己得出椭圆的严格的定义。这样，学生对这一定义就会有深刻的了解。　

　　（4）将提出的问题分解为若干个子问题，借助多媒体课件来体现椭圆的定义的实质　

　　在教学时，可以设置几个问题，让学生动手动脑，独立思考，自主探索，使学生根据提出的问题，利用多媒体，通过观察、实验、分析去寻找解决问题的途径。在椭圆的定义的教学过程中，可以提出“到两定点的距离的和为定值的点的轨迹一定是椭圆吗”，让学生通过课件演示“改变焦距或定值”，观察轨迹的形状，从而挖掘出定义的内涵，这样就使得学生对椭圆的定义留下了深刻的印象。　

　　（5）注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系　

　　在讲解椭圆的定义时，就要启发学生注意椭圆的图形特征，一般学生比较容易发现椭圆的对称性，这样在建立坐标系时，学生就比较容易选择适当的坐标系了，即使焦点在坐标轴上，对称中心是原点（此时不要过多的研究几何性质）、虽然这时学生并不一定能说明白为什么这样选择坐标系，但在有了一定感性认识的基础上再讲解选择适当坐标系的一般原则，学生就较为容易接受，也向学生逐步渗透了坐标法、　

　　（6）推导椭圆的标准方程时教师要注意化解难点，适时地补充根式化简的方法、　

　　推导椭圆的标准方程时，由于列出的方程为两个跟式的和等于一个非零常数，化简时要进行两次平方，方程中字母超过三个，且次数高、项数多，教学时要注意化解难点，尽量不要把跟式化简的困难影响学生对椭圆的标准方程的推导过程的整体认识、通过具体的例子使学生循序渐进的解决带跟式的方程的化简，即：

　　（1）方程中只有一个跟式时，需将它单独留在方程的一边，把其他各项移至另一边；

　　（2）方程中有两个跟式时，需将它们放在方程的两边，并使其中一边只有一项、（为了避免二次平方运算）　

　　（7）讲解了焦点在x轴上的椭圆的标准方程后，教师要启发学生自己研究焦点在y轴上的'标准方程，然后鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，加深对椭圆的认识、　

　　（8）在学习新知识的基础上要巩固旧知识　　椭圆也是一种曲线，所以第七章所讲的曲线和方程的知识仍然使用，在推导椭圆的标准方程中要注意进一步巩固曲线和方程的概念、对于教材上在推出椭圆的标准方程后，并没有证明所求得的方程确是椭圆的方程，要注意向学生说明并不与前面所讲的曲线和方程的概念矛盾，而是由于椭圆方程的化简过程是等价变形，而证明过程较繁，所以教材没有要求也没有给出证明过程，但学生要注意并不是以后都不需要证明，注意只有方程的化简是等价变形的才可以不用证明，而实际上学生在遇到一些具体的题目时，还需要具体问题具体分析、　

　　（9）要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神。

　　一、教学内容解析

　　1、地位与作用：

　　本章是北师大版选修1—1的第二章《圆锥曲线与方程》，是高中数学解析几何的第二大部分。解析几何是数学中一个重要的分支，它联系了数学中的数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。在北师大版必修2中，学生已掌握了在平面直角坐标系下研究直线和圆的方法，本章教材进一步利用三种基本圆锥曲线深化代数与几何的关系。本章教材内容的顺序是：椭圆→抛物线→双曲线→曲线与方程。这样安排的用意是，先学圆锥曲线，再学曲线与方程，这样的顺序更有利于学生的学习，符合学生从特殊到一般，具体到抽象的认知规律。在圆锥曲线的学习过程中，不断的渗透曲线与方程的思想，为学生理解并掌握“曲线与方程”这一概念奠定了基础。

　　本节是北师大版选修1—1的第二章《圆锥曲线与方程》第1节的内容，主要学习椭圆的定义、标准方程及其简单的应用，分为两课时，本节课是第1课时，主要学习椭圆的定义及其标准方程。教材以椭圆为基础和重点说明了求方程并利用方程讨论几何性质的一般方法，然后在认知抛物线和双曲线中得到了巩固和应用，因此《椭圆及其标准方程》这一节课起到了承上启下的作用。

　　2、教材处理顺序

　　教材在椭圆的定义这个内容的安排上是：先从直观上认识椭圆，再从画法中提炼出椭圆的几何特征，由此抽象概括出椭圆的定义，最后是椭圆定义的简单应用。这样的安排不仅体现出《课程标准》中要求通过丰富的实例展开教学的理念，而且符合学生从具体到抽象的认知规律，有利于学生对概念的学习和理解。教材在本节内容中只研究了中心在原点，焦点在轴上的椭圆的标准方程，让学生自己去归纳焦点在轴上的椭圆的标准方程。这样的处理给学生提供了一次探究和交流的机会。有利于学生对抛物线标准方程的理解，有利于学生思维能力的提高和学习兴趣的培养。

　　3、数学思想方法

　　本节内容蕴含了：数形结合思想、转化化归思想等。在推导椭圆标准方程过程中让学生体会移项再平方去根号的方法。

　　二、教学目标和重难点

　　1、教学目标

　　（1）知识与技能目标：

　　①理解椭圆的定义；

　　②掌握的椭圆的标准方程。

　　（2）过程与方法目标：

　　①在椭圆定义的获知和归纳中，进一步渗透数形结合的数学思想方法；

　　②通过椭圆标准方程的推导过程，巩固用坐标化的方法求动点的轨迹方程，同时体会含有两个根式的化简思路。

　　（3）情感、态度和价值观：

　　①通过椭圆定义的归纳，培养学生发现规律，认识规律并利用规律解决实际问题的能力；

　　②通过师生、生生合作学习，增强学生团队协作能力，增强主动与他人合作交流的意识。

　　2、教学重点

　　（1）掌握椭圆的定义与相关概念；

　　（2）掌握椭圆的标准方程。

　　3、教学难点

　　椭圆标准方程的推导。

　　三、学情分析

　　1、学生已有的认知基础

　　授课班级学生为高二年级学生。

　　椭圆是圆锥曲线中基础且重要的一种图形，在实际生活中经常遇到。学生在高一对解析几何有了初步的了解和认识，对于在平面直角坐标系下的点坐标及长度公式已掌握，具有一定的空间想象能力、抽象概括能力和推理运算的技能，有较好的学习习惯和方法。

　　2、学生存在的难点

　　学生在涉及到需要自己建立坐标系，再研究推导出方程仍是一个难点。且之前未接触过一个式子中含两个根式相加的情况，故化简是个问题。

　　3、突破策略

　　由教师引领学生观察所绘出的椭圆的特点，定点位置，从而建立合适的直角坐标系。

　　四、教学策略分析

　　1、内容突破策略

　　本节课新知内容分两大板块：一是总结概括出椭圆的定义；二是推导出椭圆的标准方程。针对第一板块内容，主要采取学生先动手画椭圆，在实践的过程中发现一些固定不变的量和量与量之间存在的关系，从而总结出椭圆的定义，并且深刻领悟定义中所说的一些特别要求。针对第二板块内容，主要是采取教师引导，学生动手，通过一般的求动点轨迹的方法推导出椭圆的标准方程，符合学生的认知规律。

　　2、启迪学生思维策略：

　　在教学方法的选择上，采用教师组织引导，学生动手实践、自主探究、合作交流的学习方式，力求体现教师的引导者、合作者的作用，突出学生的主体地位。

　　五、教学过程

　　教学过程

　　设计意图

　　一、创设情景，导入新课

　　1、让学生观察几张典型图片和行星在太阳系中的运动轨迹，由此看出一个共同的数学图形“椭圆”。

　　2、大家还能举出生活中你所遇到的椭圆吗？

　　3、用多媒体演示一个嫦娥三号运行椭圆形轨道的例子。

　　1、使学生对椭圆有一个感性认识，明白生活实践中有许多数学问题，数学来源于实践，同时培养学生学会用数学的眼光去观察周围事物的能力。

　　2、通过提问激发学生课堂上的学习兴趣。

　　二、椭圆的定义（分四个环节）

　　1、画一画（画椭圆）

　　①将一条绳子的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷紧，围绕定点旋转，笔尖形成的轨迹是什么？

　　（由学生动手在黑板上进行演示，提高学生的动手能力，同时激起学生学习本节课的兴趣）

　　②而将绳子的两端分别固定在两个定点上，笔尖勾直绳子，移动笔尖，得到的是轨迹是什么？

　　（教师提问，让学生动手，拿出提前准备好的毛线，两组同学上黑板画，其他同学同桌合作在练习本上画）

　　动画演示作图过程

　　2、认一认（实验总结）

　　提出问题：①作图过程中，哪些量没有变？哪些量变了？

　　提出问题：②为什么要求作图过程中笔尖要绷紧？

　　提出问题：③笔尖所对应的动点M到定点的距离有什么长度之间的关系？

　　总结：笔尖对应的动点M到直线两个端点的长度之和固定不变。

　　3、说一说（总结定义）

　　提出问题：根据刚才动手实践的过程，能否总结椭圆的定义？（同学自由发言，再由学生进一步补充完善）

　　我们把平面内到两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的集合叫作椭圆。

　　问题1：定义中的常数等于，则动点的轨迹是什么？

　　问题2：定义中的常数小于，则动点的轨迹是什么？

　　4、椭圆相关概念：两个定点，叫作椭圆的焦点，两个焦点，间的距离叫作椭圆的焦距。

　　1、给学生提供一个动手、动脑的学习机会；

　　2、学生可通过动手实践的过程去体会“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”，从而对椭圆定义中的条件有直观深刻的认识。

　　3、通过三个问题的设置，为学生从画法中发现抛物线的几何特征奠定基础。

　　4、通过三个典型的问题，让学生更深刻地理解椭圆的定义

　　5、使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风。

　　三、椭圆的标准方程

　　1、求一求（推导椭圆的标准方程）

　　问题3：回顾圆的轨迹方程是如何求的？

　　①建系：

　　②设点：

　　③列式：得：

　　④化简：

　　问题4：以怎样的建系方式，哪一种针对求椭圆的标准方程比较好？

　　（补充说明：椭圆具有一定的对称美，故所求的式子最好简洁工整）

　　动手演算：让学生动手，求推导焦点在轴上的椭圆的标准方程

　　①建系：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？（利用椭圆的对称性特征）

　　以直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系、

　　②设点：设焦距为，则、设为椭圆上任意一点，点与点的距离之和为、

　　③列式：动点满足的几何约束条件:

　　坐标化为：

　　④化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号

　　2、问一问

　　问题5：焦点在轴上的椭圆的标准方程是什么？

　　（由学生动手列式，，引导学生观察焦点在轴上与焦点在轴上式子的差异，从而用类比的方法得到焦点在轴上椭圆的标准方程）

　　如果椭圆的焦点在轴上，其焦点坐标为，，用同样的方法可以推出它的标准方程

　　问题6：如何用几何图形解释？在椭圆中分别表示哪些线段的长？

　　1、让学生由圆的标准方程的推导过程，类比的推导椭圆的标准方程。

　　2、椭圆方程不止一种，建立的坐标系不同，椭圆方程的表达形式也不同，在高中阶段只掌握焦点在坐标轴上的椭圆的标准方程。

　　3、进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神，感受数学的简洁美、对称美

　　4、数形结合的思想的灵活应用，进一步深化巩固数学思想方法

　　做好准备，以备个别学生想到此种方法

　　四、课堂探究

　　探究一：判断分别满足下列条件的动点的轨迹是否为椭圆

　　（1）到点和点的距离之和为6的点的轨迹；（是）

　　（2）到点和点的距离之和为4的点的轨迹；（不是）

　　（3）到点和点的距离之和为3的点的轨迹；（不是）

　　(4).已知椭圆的标准方程为，请填空：a=_____,b=_____,c=_____,焦点坐标为_________________,焦距等于_________.

　　探究二：判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点的坐标

　　（1）（在轴上，焦点为，）

　　（2）（在轴上，焦点为，）

　　（3）（在轴上，焦点为，）

　　1、巩固椭圆的定义

　　2、通过本题的练习，使学生能加深椭圆的焦距与标准方程之间关系的理解，同时会求标准方程的基本量，教学时应引导学生逐层深入，养成求椭圆标准方程先看焦点位置的良好习惯。

　　五、课堂小结

　　问题：这节课你学到了什么？请谈谈你的收获.

　　1、知识内容收获：一个定义（椭圆的定义）；两个方程（椭圆的两种标准方程）；及椭圆中之间的关系。

　　2、学习过程收获：

　　①巩固了动点的轨迹方程的求法；

　　②通过推导椭圆的标准方程的过程，学会了两个根式相加的式子的化简方法，同时提高了自己的运算能力。

　　3、数学思想和方法：数形结合思想；转化化归思想；分类讨论思想。

　　目的：培养学生的概括总结能力

　　六、课后巩固练习

　　1、课后思考：当把椭圆的两个焦点合二为一了后，得到的图形是什么？你能总结出什么样的规律？

　　2、书面作业：

　　课本练习2:1,2,3

　　是对本节课新知内容及学习方法的巩固，同时启发学生思考，让学生更有兴趣继续研究椭圆

　　七、板书设计

　　椭圆及其标准方程

　　一、画椭圆

　　二、定义：

　　注明：

　　①若，则点的轨迹不存在；

　　②若，则轨迹为线段

　　三、椭圆的标准方程

　　焦点在轴上时，

　　焦点在轴上时，

　　八、设计感想

　　上本节课前本人阅读了大量圆锥曲线的知识，对各种不同的椭圆定义引题进行了分析比较，通过各位同事耐心的指导和多次的讨论，最终采用了以现实生活中椭圆的应用引入，充分展现了知识的形成过程，有利于学生自主探究与创新意识的培养。但在设计过程仍遇到很多我无法解决的问题，比如如何将圆锥曲线背景知识融入到课堂；如何用几何画板将纸张的翻折更形象的演示等等。如何加以改进，这是在后续教学中需要思考的问题。这也反映了我在新课程面前的不足，认识到教师自身专业发展与能力提高的重要性与紧迫感；认识到新课程下的教师不再是静态的蜡烛、明灯抑或是航标，而是一名充满激情的主持人，一名锐意进取的先行者这样一个角色的转换；认识到新课改的成功要从我做起，从现在做起！