二元一次不等式与简单的线性规划问题测试题介绍

时间:2021-06-19 17:10:56 试题 我要投稿

二元一次不等式与简单的线性规划问题测试题介绍

  一、选择题

二元一次不等式与简单的线性规划问题测试题介绍

  1.(若满足约束条件 ,则的最小值是( ).

  A. B. C. D.

  考查目的:考查线性规划的有关概念和求解方法,考查数形结合思想.

  答案:A.

  解析:约束条件对应的可行域为内部(包括边界),其中,,,∴.

  2. (2010浙江理)若实数满足不等式组,且的最大值为9,则实数( ).

  A. B. C.1 D.2

  考查目的:考查二元一次不等式组的平面区域,以及简单的转化思想和数形结合的思想.

  答案:C.

  解析:将最大值转化为目标函数表示的直线在轴上的截距,将等价为斜率的倒数,作出前两个不等式表示的平面区域为两条直线的斜上方区域,由题意可知,直线应与此区域围成一个三角形区域,所以必有,且目标函数在直线与直线的交点处取得最大值,因此,解得.

  3.给出如图所示的平面区域,其中.若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个,则的值是( ).

  A. B. C.2 D.

  考查目的:考查线性规划问题、直线的'斜率公式等基础知识,考查数形结合和分析判断能力.

  答案:B.

  解析:目标函数表示斜率为的直线,是该直线在轴上的截距. 因为目标函数取得最大值的最优解有无穷多个,所以直线必经过的边或边(边所在直线斜率不存在). 若经过边,则取得最小值,不合题意;该直线经过边时,取得最大值,此时,线段上的点都是最优解,所以,.

  二、填空题

  4.(2009山东文)某公司租赁甲、乙两种设备生产两类产品,甲种设备每天能生产类产品5件和类产品10件,乙种设备每天能生产类产品6件和类产品20件. 已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产类产品50件,类产品140件,则所需租赁费最少为__________元.

  考查目的:考查线性规划问题在实际中的应用.

  答案:2300.

  解析:设生产甲种设备需要天,生产乙种设备需要天,该公司所需租赁费为元,则,根据题意得线性约束条件为,即:.作出可行域(图略).由的几何意义可知,当对应的直线过两直线的交点(4,5)时,目标函数取得最小值2300元.

  5.(2012上海文)满足约束条件的目标函数的最小值是 .

  考查目的:考查线性规划问题、作图能力和数形结合思想.

  答案:.

  解析:根据题意得,或,或,或,其可行域为平行四边形及其内部区域,如图所示. 目标函数表示斜率为1的直线,由的几何意义可知,当该直线过点时有最小值,此时.

  6.(2012江苏卷)已知正数满足则的取值范围是 .

  考查目的:考查线性规划问题、直线的斜率概念与公式、导数的几何意义、直线的方程等基础知识,以及等价转化思想与数形结合思想.

  答案:.

  解析:条件,可化为.设,,则题目转化为:已知满足,求的取值范围.

  作出可行域如图所示(阴影部分),的几何意义为阴影部分内的点与原点连线的斜率. 求出的过原点的切线方程为,易知切点位于之间,∴的最小值为.∵,∴的最大值为,因此的取值范围为,即的取值范围是.

  三、解答题

  7.某工厂生产甲、乙两种产品,计划每天每种产品的生产量不少于15吨,已知生产甲产品1吨需煤9吨,电力4千瓦时,劳力3个;生产乙产品1吨需煤4吨,电力5千瓦时,劳力10个;甲产品每吨的利润为7万元,乙产品每吨的利润为12万元;但每天用煤不超过300吨,电力不超过200千瓦时,劳力只有300个. 问每天生产甲、乙两种产品各多少吨,才能使利润总额达到最大?

  考查目的:考查线性规划问题、应用数学知识解决实际问题的能力.

  答案:20,24.

  解析:设每天生产甲、乙两种产品分别为吨、吨,利润总额为万元,根据题意,得线性约束条件为,目标函数为.作出可行域如图所示.作直线,并将其向可行域平移. 由的几何意义可知,当平移至经过点时,目标函数取得最大值.

  解方程组,可得点坐标为,∴(万元).

  答:每天应生产甲产品20吨,乙产品24吨,才能使利润总额达到最大,为428万元.

  8.(2010广东理)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐. 已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C. 另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

  如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐?

  考查目的:考查二元一次不等式组表示的平面区域、线性规划问题等基础知识和方法,考查数形结合能力和应用数学知识解决实际问题的能力.

  答案:4个单位的午餐、3个单位的晚餐.

  解析:设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐,共花费元,则.根据题意得,线性约束条件为,即.作出可行域如图所示,并作出直线.由的几何意义可知,当将平移至经过点时,目标函数取得最小值.

  由方程组可求得恰好为整点,此时.

  答:应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,既能满足营养要求,又可使花费最少.

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