初三数学练习题命题与证明试题
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.(2013湖南湘潭中考)下列命题正确的是()
A.三角形的中位线平行且等于第三边
B.对角线相等的四边形是等腰梯形
C.四条边都相等的四边形是菱形
D.相等的角是对顶角
2.有如下命题：①无理数就是开方开不尽的数;②一个实数的立方根不是正数就是负数;
③无理数包括正无理数、0、负无理数;④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是l或0.其中错误的个数是()
A.1 B. 2 C.3 D.4
3.下 列条件中，能判定四边形是平行四边形的是( )
A .一组对角相等 B.对角线互相平分
C.一组对边相等 D.对角线互相垂直
4.(2013四川攀枝花中考)下列命题错误的是( )
A.菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半
B.矩形的对角线相等
C.有两个角相等的梯形是等腰梯形
D.对角线相等的菱形是正方形
5.若四边形的两条对角线相等，则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是( )
A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
6.如图，在 中， 的垂直平分线分别交 于点 ， 交 的延长线于点 ，已知 则四边形 的面积是()
A. B. C. D.
7.(2013四川遂宁中考)如图，在 中， 90， 30，以点 为圆心，任意长为半径画弧分别交 于点 和 ，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接 并延长交 于点 ，则下列说法中正确的个数 是( )
① 是 的平 分线;② 60③点 在 的中垂线上;④
.
A.1 B.2 C.3 D.4
8.用反证法证明在 中，若 ，则 ，第一步应假设()
A. B. C. D.
9.如图，将一个长为 ，宽为 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的
连线(虚线)剪下，将剪下的部分打开，得到的菱形的`面积为( )
A. B. C. D.
10.如图，是一张矩形纸片 ， ，若将纸片沿 折叠，使 落在 上，点 的对应点为点 .若 ，则 ()
A. B. C. D.
二、填空题(每小题3分，共24分)
11.如图，在四边形 中，已知 ，再添加一个条件___________(写出一个即可)，则四边形 是平行四边形.(图形中不再添加辅助线)
12.命题：如果 那么 的逆命题是________________，该命题是_____命题(填真或假).
13.如图，在菱形 中，对角线 相交于点 ，若再补充一个条件能使菱形 成为正方形，则这个条件是 .(只填一个 条件即可)
14.如图，在 中, ， 分别是 和 的角平分线，且 ， ，则 的周长是_______ .
15.如图，矩形 的对角线 ， ，则图中五个小矩形的周长之和为_______.
16.如图，在等腰梯形 中， ， ， ， ， ，则上底 的长是_______ .
17.(2013山东莱芜中考改编)下列命题是真命题的是 .
① 与 互为倒数;②若 ，则 ;③梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半.
18 .写一个与直角三角形有关的 定理 .
三、解答题(共66分)
19.(6分)如图，在 中， 两点分别在 和 上，求证： 不可能互相平分.
20.(8分)已知 是整数， 能被3整除，求证： 和 都能
被3整除.(用反证法证明)
21.(8分)如图，在平行四边形 中，对角线 相交于点 ， 过点 且分别交 于点 .求证： .
22.(10分)如图，在 中， , 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，点 在 上，且 .
⑴求证：四边形 是平行四边形.
⑵当 满足什么条件时，四边形 是菱形?并说明理由.
23.(10分)如图，在平行四边形 中， 是对角线 上的两点，且 .求证: .
24.(12分)如图， ， 是 上一点， 于点 ， 的延长线 交 的延长线于点 .求证： 是等腰三角形.
25.(12分)如图，在 中， ，垂足为 ， 是 外角 的平分线， ，垂足为 .
(1)求证：四边形 为矩形.
(2)当 满足什么条件时，四边形 是一个正方形?并给出证明.
第2章 命题与证明检测题参考答案
1.C 解析：因为三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以选项A错误;因
为对角线相等的四边形还有矩形等，所以选项B错误;因为相等的角有很多，不一定都是
对顶角，所以选项D错误.故选C.
2.D 解析：①开方开不尽的数是无理数，但无理数就是开方开不尽的数是错误的，例如 ，故①错误;②一个实数的立方根不光是正数、负数，还可能是0，故②错误;③无理数包括正无理数和负无理数，不包括0，故③错误;④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是l，0或 ，故④错误.故选D.
3.B 解析：利用平行四边形的判定定理知B正确.
4.C 解析：直角梯形有两个角相等，都是90，但它不是等腰梯形，故选项C是错误的.
5.C 解析：由四边形的两条对角线相等，知顺次连接该四边形各边中点所得的四边形的四条边相等，即所得四边形是菱形.
6.A 解析：∵ 是 的垂直平分线， 是 的中点， ，
， 四边形 是矩形.
∵ ， ， ， ，
，
， 四边形 的面积为 .
7.D 解析：①根据作图的过程可知， 是 的平分线，故①正确.
②因为在△ 中， 90， 30，所以 60.
又因为 是 的平分线，所以 30，
所以 90 60，故②正确.
③因为 30，所以 ，所以点 在 的中垂线上，故③正确.
④因为在 中， 30,所以 ，
所以 ，所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，故④正确.
综上所述，正确的结论是①②③④，共有4个，故选D.
8.D 解析： 与60的大小关系有 ， ， 三种情况，因而 的反面是 .因此用反证法证明 时，应先假设 .故选D.
9.A 解析：由题意知 ， ，
10.A 解析：由折叠的性质知 ，则四边形 为正方形，
.
11. 或 或 (答案不唯一)
12.如果 ，那么 假 解析：根据题意知，命题如果 ，那么 的条件是 ，结论是 ，故逆命题是如果 ，那么 ，该命题是假命题.
13. (或 ， 等)
14.5 解析：∵ 分别是 和 的角平分线，
， .
∵ ， ， ， ，
， ， ，
的周长 .
15.28 解析：由勾股定理得 ，又 ，所以 ，
所以五个小矩形的周长之和为 .
16.2 解析： .
∵ 在等腰梯形 中， ，
.
∵ , .
.
17. ①② 解析：对于③，因为 ，其中 分别是梯形上底的长、下底的长及高，而梯形中位线 ，所以 ，即梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积.
18.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 解析：本题是一道开放型题目，只要保证命题是真命题即可.
19.证明：假设 可以互相平分，如图，
连接 ，则四边形 是平行四边形，
，这与 相矛盾.
不可能互相平分.
20.证明：如果 不都能被3整除，那么有如下两种情况：
(1) 两数中恰有一个能被3整除，
不妨设 能被3整除， 不能被3整除，
令 ( 都是整数)，
于是 ，
不能被3整除，与已知矛盾.
(2) 两数都不能被3整除，令 ( 都是整数)，则
，
不能被3整除，与已知矛盾.
由此可知， 都是3的倍数.
21.证明：∵ 四边形 是平行四边形， ，
，故 .
22.(1)证明：由题意知 ， ， .
∵ ， .
又∵ ， ， ， 四边形 是平行四边形 .
(2)解：当 时，四边形 是菱形 .理由如下：
∵ ， .∵ 垂直平分 ， .
又∵ ， ， ， 平行四边形 是菱形.
23.证明:∵ 四边形 是平行四边形,
.
在 和 中， ，
， .
24.证明：∵ ， .
∵ 于点 ， ，
. .
∵ ， . △ 是等腰三角形.
25.(1)证明：在△ 中， ， ， .
∵ 是△ 外角 的平分线，
， .
又∵ ， ， ，
四边形 为矩形.
(2)解：给出正确条件即可.
例如，当 时，四边形 是正方形.
∵ ， 于点 ， .
又∵ ， .
由(1)知四边形 为矩形， 矩形 是正方形.
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