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全国高中数学联赛模拟试题1及答案

时间:2018-04-17 15:47:02 试题 我要投稿

全国高中数学联赛模拟试题1及答案

  全国高中数学联赛模拟试题(一)

全国高中数学联赛模拟试题1及答案

  第一试

  一、 选择题:(每小题6分,共36分)

  1、方程6×(5a2+b2)=5c2满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是

  (A)1 (B)3 (C)4 (D)5

  x22、函数y (x∈R,x≠1)的递增区间是

  x 1

  (A)x≥2 (C)x≤0

  (B)x≤0或x≥2 (D)x≤1 2或x≥2

  3、过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B,使△AOB(O

  为原点)的面积最小,则l的方程为 (A)x+y-3=0 (B)x+3y-5=0 (C)2x+y-5=0 (D)x+2y-4=0

  4、若方程cos2x+3sin2x=a+1在 0, 上有两个不同的实数解x,则参

  2

  数a的取值范围是 (A)0≤a<1 (B)-3≤a<1 (C)a<1 (D)0<a<1 5、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是

  (A)42 (B)45 (C)48 (D)51

  6、在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中,满足条件a1<a2,a2>a3,a3<a4,a4

  >a5的排列的个数是 (A)8 (B)10 (C)14 (D)16

  二、 填空题:(每小题9分,共54分)

  1、[x]表示不大于x的最大整数,则方程

  1

  ×[x2+x]=19x+99的实数解x2

  是 .

  2、设a1=1,an+1=2an+n2,则通项公式an= . 3、数799被2550除所得的余数是 .

  5

  4、在△ABC中,∠A=,sinB=,则cosC= .

  313

  5、设k、 是实数,使得关于x的方程x2-(2k+1)x+k2-1=0的两个根为

  sin 和cos ,则 的取值范围是. 6、数5 24

  2n

  (n∈N)的个位数字是

  三、 (20分)

  已知x、y、z都是非负实数,且x+y+z=1.

  求证:x(1-2x)(1-3x)+y(1-2y)(1-3y)+z(1-2z)(1-3z)≥0,并确定等号成立的条件.

  四、 (20分)

  (1) 求出所有的实数a,使得关于x的方程x2+(a+2002)x+a=0的两根

  皆为整数.

  (2) 试求出所有的.实数a,使得关于x的方程x3+(-a2+2a+2)x-2a2-

  2a=0有三个整数根.

  五、 (20分)

  试求正数r的最大值,使得点集T={(x,y)|x、y∈R,且x2+(y-7)2≤r2}一定被包含于另一个点集S={(x,y)|x、y∈R,且对任何 ∈R,都有cos2 +xcos +y≥0}之中.

  第二试

  一、(50分)

  设a、b、c∈R,b≠ac,a≠-c,z是复数,且z2-(a-c)z-b=0.

  a2 b a c z

  求证: 1的充分必要条件是(a-c)2+4b≤0.

  ac b

  二、(50分)

  如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB均是锐角,

  D是BC边上的内点,且AD平分∠BAC,过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ,其垂足是P、Q,两条直线CP与BQ相交与点K.求证: (1) AK⊥BC;

  (2) AK AP AQ

  2S△ABC

  ,其中S△ABC表BC

  示△ABC的面积.

  三、(50分)

  给定一个正整数n,设n个实数a1,a2,…,an满足下列n个方程:

  ai4

  (j 1,2,3, ,n). i j2j 1i 1

  n

  确定和式S

  i 1

  n

  ai

  的值(写成关于n的最简式子). 2i 1

  参考答案

  第一试

  二、填空题:

  1811587

  1、 或;

  3838

  3、343;

  2、7×2n-1-n2-2n-3; 4、

  53 12

  ; 26

  5、{ | =2n + 或2n -

  ,n∈Z} ;6、1(n为偶数);7(n为奇数). 2

  1 1 1

  x z y z 1 x y

  三、证略,等号成立的条件是x y z 或 2或 2或 2.

  3 z 0 y 0 z 0四、(1)a的可能取值有0,-1336,-1936,-1960,-2664,-4000,-2040;

  (2)a的可能取值有-3,11,-1,9.

  五、rmax=42.

  第二试

  a c a c 4b i

  一、证略(提示:直接解出z ,通过变形即得充分性成

  2

  2

  立,然后利用反证法证明必要性).

  二、证略(提示:用同一法,作出BC边上的高AR,利用塞瓦定理证明AR、BQ、

  CP三线共点,从而AK⊥BC;记AR与PQ交于点T,则AQ=AP,对于AK<AP,可证∠APK<∠AKP).

  三、S

  1

  2S△ABC

  =AR>AT>BC

  2n 12

  1.

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