函数的奇偶性与周期性复习试题

试题 时间:2017-09-27 我要投稿
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  10.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x∈时,f(x)=2x-x2.

  (1)求证:f(x)是周期函数;

  (2)当x∈时,求f(x)的解析式;

  (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016).

  (1)证明∵f(x+2)=-f(x),

  ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).

  ∴f(x)是周期为4的周期函数.

  (2)解∵x∈,∴-x∈,

  ∴4-x∈,

  ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8,

  又f(4-x)=f(-x)=-f(x),

  ∴-f(x)=-x2+6x-8,

  即f(x)=x2-6x+8,x∈.

  (3)解∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.

  又f(x)是周期为4的周期函数,

  ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0.

  ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016)=f(2016)

  =f(0)=0.

  15.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).

  (1)求f(1)的值;

  (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;

  (3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.

  解(1)∵对于任意x1,x2∈D,

  有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),

  ∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.

  (2)f(x)为偶函数.

  证明:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f (-1),

  ∴f(-1)=2(1)f(1)=0.

  令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),

  ∴f(-x)=f(x),

  ∴f(x)为偶函数.

  (3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,

  由(2)知,f(x)是偶函数,

  ∴f(x-1)<2?f(|x-1|)

  又f(x)在(0,+∞)上是增函数.

  ∴0<|x-1|<16,

  解之得-15

  ∴x的取值范围是{x|-15

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