(经典)常用函数图像15篇
常用函数图像1
1.一定要留足时间让学生自己作出二次函数的图象
可能在教学过程中，有些教师会觉得作图象是上一节课的重点，这一节主要是学生观察、分析图象，从而不让学生画图象或者只是简单的画一两个。这种做法看上去好像更加突出了重点、难点，却没有给学生探索与发现的过程，造成学生对于二次函数性质的理解停留在表面，知识迁移相对薄弱，不利于培养学生自主研究二次函数的能力。
2. 相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
在归纳二次函数性质的'时候，也要充分的相信学生，鼓励学生大胆的用自己的语言进行归纳，因为学生自己的发现远远比老师直接讲解要深刻得多。在教学过程中，要注重为学生提供展示自己聪明才智的机会，这样也利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在让学生归纳二次函数性质的时候，学生可能会归纳得比较片面或者没有找出关键点，教师一定要注意引导学生从多个角度进行考虑，而且要组织学生展开充分的讨论，把大家的观点集中考虑，这样非常有利于训练学生的归纳能力。
常用函数图像2
一、说教材
1、教材的地位和作用
函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本函数之一。本节内容是在学生已经学过指数函数、对数及反函数的基础上引入的，因此既是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解。对数函数在生产、生活实践中都有许多应用。本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统，为学生今后进一步学习对数等提供了必要的基础知识。
2、教学目标的确定及依据
根据教学大纲要求，结合教材，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定了如下的教学目标：
（1）知识目标：掌握对数函数的图像与性质；初步学会用对数函数的性质解决简单的问题。
（2）能力目标：渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法，培养学生观察、分析、归纳等逻辑思维能力。
（3）情感目标：构造和谐的教学氛围，增加互动，促进师生情感交流，培养学生严谨的科学态度，欣赏数学的精确和美妙之处，调动学生学习数学的积极性。
3、教学重点与难点
重点：对数函数的图像与性质。
难点：对数函数性质中对于在《对数函数的图像与性质》说课稿与《对数函数的图像与性质》说课稿两种情况函数值的不同变化。
二、说教法
学生在整个教学过程中始终是认知的主体和发展的主体，教师作为学生学习的指导者，应充分地调动学生学习的积极性和主动性，有效地渗透数学思想方法。根据这样的原则和所要完成的教学目标，对于本节课我主要考虑了以下两个方面：
1、教学方法：
（1）启发引导学生观察、联想、思考、分析、归纳；
（2）采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法；
（3）渗透数形结合、分类讨论等数学思想方法。
（4）用探究性教学、提问式教学和分层教学
2、教学手段：
计算机多媒体辅助教学。
三、说学法
“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终身。本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：
（1）探究定向性学习：学生在教师建立的情境下，通过思考、分析、操作、探索，归纳得出对数函数的图像与性质。
（2）主动式学习：学生自己归纳得出对数函数的图像与性质。
四、说教程
1、温故知新
我通过复习y＝log2x和y＝log0。5x的图像，让学生熟悉两个具体的对数函数的图像。
设计意图：这与本节内容有密切关系，有利于引出新课。为学生理解新知清除了障碍，有意识地培养学生分析问题的能力。
2、探求新知
研究对数函数的图像与性质。关键是学生自主的对函数《对数函数的图像与性质》说课稿和《对数函数的图像与性质》说课稿的'图像分析归纳，引导学生填写表格（该表格一列填有《对数函数的图像与性质》说课稿在《对数函数的图像与性质》说课稿及《对数函数的图像与性质》说课稿两种情况下的图像与性质），采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法，归纳总结出《对数函数的图像与性质》说课稿的图像与性质。
在学生得出对数函数的图像和性质后，教师再加以升华，强调“数形结合”记忆其性质，做到“心中有图”。另外，对于对数函数的性质3和性质4在用多媒体演示时，有意识地用（1）（2）进行分类表示，培养学生的分类意识。
设计意图：教师建立了一个有助于学生进行独立探究的情境，学生通过观察、联想、思考、分析、探索，在此过程中，这充分体现了探究定向性学习和主动合作式学习。
3、课堂研究，巩固应用
例1主要利用对数函数《对数函数的图像与性质》说课稿的定义域是《对数函数的图像与性质》说课稿来求解。
例2利用对数函数的单调性，比较两个同底对数值的大小。在这个例题中，注意第三小题的点拨，选择和中间量0或1比较，第四小题要分底数《对数函数的图像与性质》说课稿及《对数函数的图像与性质》说课稿两种情况。
例3解对数不等式，实际是例2的一种逆向运算，已知对数值的大小，比较真数，任然要使用对数函数的单调性。
设计意图：通过这个环节学生可以加深对本节知识的理解和运用，在此过程中充分体现了数形结合和分类讨论的数学思想方法。同时为课外研究题的解决提供了必要条件，为学生今后进一步学习对数不等式埋下伏笔。
4、巩固练习
使学生学会知识的迁移，两个练习紧扣本节内容，利用课堂研究中体现的重要的数形结合和分类讨论的数学思想方法，学生课后完全有能力解决这个问题。
5、课堂小结
引导学生进行知识回顾，使学生对本节课有一个整体把握。从两方面进行小结：
（1）掌握对数函数的图像与性质，体会数形结合的思想方法；
（2）会利用对数函数的性质比较两个同底对数值的大小，初步学会对数不等式的
解法，体会分类讨论的思想方法。
6、作业：p97习题3，4，5
选做题6题
常用函数图像3
一、教材分析
1、教学目标：
（1）、能用列表、描点的方法探究反比例函数的图象，并会画出反比例函数的图象。 （2）、进一步理解函数的3种表示方法，即列表法、解析式法和图象法及各自的特点。
（3）、经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法。
2、重点：画反比例函数的图象。
3、难点：根据反比例函数图象初步感知反比例函数的性质。
二、教后反思
1、优点： （1）、让学生经历“回忆——对比——猜想——分析——验证”的思维过程。先让学生画一次函数y=2x+4的图象。回忆函数图象的.画法（列表，描点，连线），再让学生猜想 的图象，并引导学生围绕图象点的横纵坐标的符号特征，来预测它的图象，并与y=2x+4的图象进行对比，最后，学生带着疑问进行探索，画 的图象，并最终验证了自己的猜想。
（2）、在学生亲手画出一次函数y=2x+4的图象后，通过对比辨析反比例函数的图象概念及其特点，使学生得到深刻的认识和理解。
（3）、无限接近的理解。这是难点，学生没有生活经验。为了增加学生的感性认识，我拓展介绍了“无限可分和无限接近”的概念。并用直尺进行演示，使学生对于“无限”的理解有了实例的依托。
（4）、在讲解 的图象是中心对称图形时，列举了特殊的点来对比认识其中心对称性，让学生真正理解。
2、不足：
（1）、反比例函数图象的概念出示过早，特别是图象的两个分支在“一、三或二、四”象限时，学生没有感性认识。
（2）、学案设计有缺陷。直角坐标系和表格准备不当，给学生在操作画图时带来了不必要的干扰。影响了教学效果。
（3）、习题练习不充分，讲解时学生的主动性没有发挥。
3、改进：
（1）、学生画函数图象时，细节不够重视，教师可在课前把范例准备好，
以便学生能够对比发现自己的不足，进而改进。
（2）、对于反比例函数图象的画法，可让学生先小组讨论完成，这样有助于学生对反比例函数的深入理解，也可为后续学习其性质和应用增加一些思维锻炼。
（3）、学案设计要简明，要求和步骤应在学案上清楚表明，以便学生能够清楚认识学习的任务和步骤，也方便教师掌握教学进度。 也许您也喜欢下面的内容：
常用函数图像4
各位领导 教师同仁：
我说课的内容是正切函数的性质和图像。
教材理解分析
《1,4.3 正切函数的性质与图像》是人教社A版必修4第一章第4节的第3小节的内容。是前面系统的学习了正弦与余弦函数的概念，图像及其性质以后滴内容
学习目标
1、掌握正切函数的性质及其应用
2、理解并掌握作正切函数图象的方法;
3、体会类比、换元、数形结合等思想方法。
学情分析
由于我们文科平行班基础不太好加之学习函数的图像及性质又是一个难点，自主学习必然会出现困难。加之教学时间紧，任务重，前面地学习也不是很好。
根据教材结构和学情我对具体地教学过程和设计作如下说明：
在学法上大胆采用高效课堂模式，让学生探究，大胆去掉非主线知识内容，内容程序尽量简洁明了，一课一得，便于学生掌握。教学过程共有这样几个方面
一、复习引入
(1)画出下列各角的正切线
(2)复习相关诱导公式
二、探究新知
探究一 正切函数的性质
探究二 正切函数的`图像
三、新知运用
例1 求函数的定义域、周期和单调区间.
四、课堂练习
1、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增区间。
2、 观察正切曲线，写出满足下列条件x的范围：
(1) ; (2) ; (3)
五.小结与课后作业
常用函数图像5
课程标准对这一节的要求：知识技能方面，理解直线y=kx+b与直线y=kx之间的位置关系；会画出一次函数的图象；掌握一次函数的性质。数学思考方面，通过一次函数图象归纳性质，体验数形结合法的应用；解决问题方面，通过一次函数图象和性质的研究，体会数形结合法在问题解决中的应用，并能运用性质、图象及数形结合法解决相关函数问题。情感态度方面，体会数与形的内在联系，感受函数图象的简洁美；在探究活动中渗透与他人交流、合作的意识和探究精神。本节课教学重点是：一次函数的图象和性质。难点是由一次函数的图象归纳得出一次函数的性质及对性质的理解。
本节课的设计思路是：通过6个活动，在复习正比例函数和一次函数的定义、正比例函数图象和性质的`基础上，在同一个直角坐标系中描出正比例函数y=-6x和一次函数y=-6x+5的图象，通过让学生观察比较去体验两者之间的位置关系，得出一次函数的图象是一条直线，并且函数y=kx+b的图象实际是直线y=kx上所有点进行了平移的结果。因为两点确定一条直线，通过活动3明白要做出一次函数的图像只需要选取图象和坐标轴的两个交点坐标就可以了。从而达到掌握一次函数图象的画法的目的。然后在同一直角坐标系中画出四个k和b取不同值的一次函数的图象，进一步巩固一次函数图象的画法，同时观察k和b的变化引起直线位置和变化趋势的变化，使得一次函数的性质这一教学重点自然浮出水面，水到渠成。再通过学生演板课后练习题，及时反馈教学效果，查缺补漏。设计一个思考题让学有余力的学生对常数b也有一个较为深入的认识。最后通过小结总结回顾学习内容养成整理知识的习惯。选作题设计目的是对作业进行分层要求，使“不同的学生在数学上得到不同的发展”。
成功之处：通过复习旧知，达到承上启下，引入新课之目的，教学内容的设计，由浅入深，循序渐进，通过学生自主学习，合作交流和教师的适度引导点拨，使学生达到“蹦一蹦能摘到桃子的效果”。一次函数K和b对图象、性质的影响。
常用函数图像6
1 基本信息
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即：△y/△x=k (△为任意不为零的实数)，即函数图像的斜率。
2.一次函数的表达式：y=kx+b
3.性质：当k0时，y随x的增大而增大;
当k0时，y随x的增大而减小。
当b0时，该函数与y轴交于正半轴;
当b0时，该函数与y轴交于负半轴
当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
4.一次函数定义域x∈R,值域f(x)∈R
5.一次函数在x∈R上的单调性：
若f(x)=kx+b,k0，则该函数在x∈R上单调递增。
若f(x)=kx+b,k0，则该函数在x∈r上单调递减。
2 函数性质
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即：y=kx+b(k≠0) (k不等于0，且k，b为常数)
2.当x=0时，b为函数在y轴上的,坐标为(0,b).
当y=0时，该函数图像在x轴上的交点坐标为(-b/k，0)
3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,Θ≠90°)
形、取、象、交、减。
4.当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.
5.函数图像性质：当k相同，且b不相等，图像平行;
当k不同，且b相等，图像相交;
当k互为负倒数时，两直线垂直;
当k，b都相同时，两条直线重合。
3 图像性质
1.作法与图形：通过如下3个步
(1)列表
(2)描点：一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理;
(3)连线，可以作出一次函数的.图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b)
2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b(k≠0)。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像都是过原点。
3.函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
4.k，b与函数图像所在象限：
y=kx时(即b等于0，y与x成正比，此时的图像是是一条经过原点的直线)
当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;
当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
y=kx+b(k,b为常数，k≠0)时：
当 k0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。
当 k0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。
当 k0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。
当 k0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。
当b0时，直线必通过一、三象限;
当b0时，直线必通过二、四象限。
特别地，当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当k0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。
4、特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值(即一次项系数)相等.
当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1.
常用函数图像7
一、说教材
1、教材的地位和作用
函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本初等函数之一．本节内容是在学生已经学过指数函数、对数及反函数的基础上引入的，因此既是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．对数函数在生产、生活实践中都有许多应用．本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统，为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识．
2、教学目标的确定及依据
根据教学大纲要求，结合教材，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定了如下的教学目标：
（1）知识目标：理解对数函数的意义；掌握对数函数的图像与性质；初步学会用
对数函数的.性质解决简单的问题．
（2）能力目标：渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法，培养学生观察、
分析、归纳等逻辑思维能力．
（3）情感目标：通过指数函数和对数函数在图像与性质上的对比，使学生欣赏数
学的精确和美妙之处，调动学生学习数学的积极性．
3、教学重点与难点
重点：对数函数的意义、图像与性质．
难点：对数函数性质中对于在与两种情况函数值的不同变化．
二、说教法
学生在整个教学过程中始终是认知的主体和发展的主体，教师作为学生学习的指导者，应充分地调动学生学习的积极性和主动性，有效地渗透数学思想方法．根据这样的原则和所要完成的教学目标，对于本节课我主要考虑了以下两个方面：
1、教学方法：
（1）启发引导学生实验、观察、联想、思考、分析、归纳；
（2）采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法；
（3）渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法．
2、教学手段：
计算机多媒体辅助教学．
三、说学法
“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终身．本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：
（1）类比学习：与指数函数类比学习对数函数的图像与性质．
（2）探究定向性学习：学生在教师建立的情境下，通过思考、分析、操作、探索，
归纳得出对数函数的图像与性质．
（3）主动合作式学习：学生在归纳得出对数函数的图像与性质时，通过小组讨论，
使问题得以圆满解决．
四、说教程
1、温故知新
我通过复习细胞分裂问题，由指数函数引导学生逐步得到对数函数的意义及对数函数与指数函数的关系：互为反函数．
设计意图：既复习了指数函数和反函数的有关知识，又与本节内容有密切关系，
有利于引出新课．为学生理解新知清除了障碍，有意识地培养学生
分析问题的能力．
2、探求新知
在理解对数函数的意义的基础上，研究对数函数的图像与性质．关键是抓住对数函数与指数函数互为反函数的关系，图像关于直线对称，从而作出对数函数的图像．由学生自主作出对数函数和的图像后，引导学生填写所发表格（该表格一列填有在及两种情况下的图像与性质），通过类比学习，小组讨论，采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法，归纳总结出的图像与性质．
在学生得出对数函数的图像和性质后，教师再加以升华，强调“数形结合”记忆其性质，做到“心中有图”．另外，对于对数函数的性质3和性质4在用多媒体演示时，有意识地用（1）（2）进行分类表示，培养学生的分类意识．
设计意图：教师建立了一个有助于学生进行独立探究的情境，学生通过动手操作、
观察、联想、类比、思考、分析、探索，在此过程中，通过小组讨论，
协作构建起新的知识．这充分体现了基于建构主义学习理论的探究定
向性学习和主动合作式学习．
3、课堂研究，巩固应用
例1主要利用对数函数的定义域是来求解．在这个例题中，重点、难点是第三小题的理解．这一小题是课后练习“求函数（其中）的定义域”这道题目的变形．我觉得让学生直接解决课后练习有较大困难，因此设计了“求函数的定义域”这一小题；理解了这个小题，课后练习也就迎刃而解了．而在解题过程中，学生发现求解不等式是一个难点．我在解决这一难点时，采用了两种方法：一是启发学生将“0”写成1的对数，并且是写成，这样就可以利用对数函数的单调性求出不等式的解，最后向学生介绍不等式是一个对数不等式；二是引导学生观察对数函数的图像，通过数形结合来求解不等式．
例2利用对数函数的单调性，比较两个同底对数值的大小．在这个例题中，注意第三小题的点拨，要分底数及两种情况．
设计意图：通过这个环节学生可以加深对本节知识的理解和运用，在此过程中充
分体现了数形结合和分类讨论的数学思想方法．同时为课外研究题的
解决提供了必要条件，为学生今后进一步学习对数不等式埋下伏笔．
4、课外研究
使学生学会知识的迁移，利用课堂研究中体现的重要的数形结合和分类讨论的数学思想方法，学生课后完全有能力解决这个问题．
5、课堂小结
引导学生进行知识回顾，使学生对本节课有一个整体把握．从三方面进行小结：
（1）理解对数函数的意义；
（2）掌握对数函数的图像与性质，体会类比、数形结合的思想方法；
（3）会利用对数函数的性质比较两个同底对数值的大小，初步学会对数不等式的
解法，体会分类讨论的思想方法．
6、课外作业
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常用函数图像8
教材分析
三角函数是基本初等函数之一，是描述周期现象的重要数学模型，是函数大家庭的一员。除了基本初等函数的共性外，三角函数也有其个性的特征，如图像、周期性、单调性等，所以本节内容有着承上启下的作用；另外，学习完三角函数的定义之后，必然要研究其性质，而研究函数的性质最常用、最形象直观的方法就是作出其图像，再通过图像研究其性质。由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数,因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法.当然,我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图. 教学目标
1.通过简谐振动实验演示,让学生对函数图像有一些直观的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力.
2.通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换,了解函数之间的内在联系.通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象.
3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系,树立科学的辩证唯物主义观. 重点难点
教学重点:正弦函数、余弦函数的图象.
教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系.
教学用具：多媒体教学、几何画板软件、ppt控件 教学过程 导入新课
1.(复习导入)首先复习相关准备知识：三角函数、三角函数线。遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有什么特殊点,并借助图象研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道y=sinx与y=cosx的图象是怎样的呢?回忆我们是如何画出它们图象的(列表描点法:列表、描点、连线)?
2.(物理实验导入)视频观看“简谐运动”实验.得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.有了上述实验,你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象?画函数的图象,最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象. 推进新课
新知探究 提出问题
问题①:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何得到y=sinx,x∈［0,2π］的精确图象呢?
问题②:如何得到y=sinx,x∈R时的图象?
对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分,再把x轴上从0到2π这一段分成12等份.由于单位圆周长是2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O1上的各分点作x轴的垂线,就可以得到对应于0、2π等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相6432当于“列表”).第二步,把角x的正弦线向右平移,使它的'起点与x轴上的点x重合,这就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数y=sinx在［0,2π］上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图1所示(这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图象的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨
对问题②,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sinx在x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z且k≠0上的图象与函数y=sinx在x∈[0,2π]上的图象的形状完全一致,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sinx,x∈[0,2π］的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R的图象.(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)
操作结果、总结提炼:①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y=sinx,x∈［0,2π］的图象. ②左、右平移,每次2π个长度单位即可. 提出问题
如何画出余弦函数y=cosx,x∈R的图象?你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利用正弦函数图象得到余弦函数图象吗?
意图:如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了,根据已学的知识,教师引导学生观察诱导公式,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?让学生从函数解析式之间的关系思考,进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法.让学生动手做一做,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础. 讨论结果:
把正弦函数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到余弦函数图象
正弦函数y=sinx,x∈R的图象和余弦函数y=cosx,x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线点.
提出问题 问题①:以上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的方法.你认为哪些点是关键性的点? 问题②:你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在［0,2π］上的图象吗? 活动:对问题①,教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在［0,2π］上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sinx在［0,2π］上的图象的形状就基本上确定了.这五点如下: (0,0),(3,1),(π,0),(,-1),(2π,0).
因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练掌握.
对问题②,引导学生通过类比,很容易确定在［0,2π］上起关键作用的五个点,并指导学生通过描这五个点作出在［0,2π］上的图象. 讨论结果:①略. ②关键点也有五个,它们是:(0,1),(3,0),(π,-1),(,0),(2π,1).
学生练习巩固：1。用五点法作出函数y=sinx在［0,2π］上的图象；2. 用五点法作出函数y=cosx
在［0,2π］上的图象 应用示例
例1 画出下列函数的简图 (1)y=1+sinx,x∈[0,2π];(2)y=-cosx,x∈[0,2π]描点并将它们用光滑的曲线连接起来
课堂小结
以提问的方式,先由学生反思学习内容并回答,教师再作补充完善.
1.怎样利用“周而复始”的特点,把区间［0,2π］上的图象扩展到整个定义域的?
2.如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线?
这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法.除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外,余弦函数图象还可由平移交换法得到.“五点法”作图是比较方便、实用的方法,应熟练掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.
3.课后请同学们利用三角函数线（把单位圆8等分）来作出正弦函数图象？（思考为什么要进行8等分）
教学反思：
这节课从整体上看，比较圆满完成了既定的教学目标：正弦函数、余弦函数的图像，以及掌握五点法，利用五点法作出函数的图像，注意函数之间的内在联系。学生掌握了三角函数的定义之后，自然而然就会去研究函数的性质，而研究函数的性质一般从函数的图像入手，本节课学生的动手操作要求较高，需要学生在练习本上画图；这节课从教学过程看，逻辑行强，过渡比较自然，幻灯片制作精美，特别是几何画板的控件，让学生能够直观看到图像的变化趋势，还有电子白板的灵活运用，可以使用新建屏幕页，让学生看到我们老师如何操作，给学生示范。
当然，在教学中也存在一些问题：前面复习回顾的内容用时过多，导致后面的时间有些紧，例题可以讲一个详细的，后面让学生完成；正弦函数的图像分析透彻之后，对于余弦函数可以略讲。
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一、教学内容分析
本节内容是高一数学必修4（苏教版）第三章《三角恒等变换》第一节的内容，重点放在两角差的余弦公式的推导和证明上，其次是利用公式解决一些简单的三角函数问题。 在学习本章之前，已经学习了三角函数及向量的有关知识，从而为沟通代数、几何与三角函数的联系提供了重要的工具。本章我们将使用这些工具探讨三角函数值的运算。本节内容不仅是推导正弦和（差）角公式、正切和（差）角公式及倍角公式的基础，对于三角变换，三角恒等式的证明，三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用，而且其推导过程本身就具有重要的教育价值。
二、学生学习情况分析
本节课的主要内容是“两角差的余弦公式的推导及证明”，用到的工具有“单位圆中三角函数的定义”和“平面向量数量积的定义及坐标表示”，都属于基础知识，内容简单，容易理解和接受。但是在向量法证明的过程中，向量夹角的范围是[0，π]，与两角差α-β的范围不一致，学生对角的范围说明不清，是本节课的难点。
三、设计思想
教学理念：以“研究性学习”为载体，培养学生自主学习、小组合作的能力。
教学原则：注重学生自主学习与探究能力的培养，体现学生个性的发展与小组合作共性的融合。
教学方法：先学后教，小组合作，师生互动。
四、教学目标
知识与技能：了解用向量法推导两角差的余弦公式的过程，掌握两角和（差）的余弦公式并能运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值。
过程与方法：自主探究两角差的余弦公式的表现形式，经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，并能独立利用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用。
情感态度与价值观：体验和感受数学发现和创造的过程，感悟事物之间普遍联系和转化的关系。
五、教学重点与难点
重点：两角差的'余弦公式的推导及证明。
难点：引入向量法证明两角差的余弦公式及两角差范围的说明。
六、教学程序设计
1.情境创设，课上展示。
课前探究：
课上展示：请同学们展示一下课前所得到的结果吧。
设计意图：课前以问题串的形式给学生指明研究方向。问题层层递进，从特殊到一般，使学生的研究具有一定的坡度性。既让学生容易上手，又让学生在研究过程中慢慢深入与提高。
主要目的：让学生自主发现两角差的余弦公式的表达形式。
通过课上展示，学生把课下研究出来的成果与全班同学共享，产生共鸣，为进一步研究两角差的余弦公式做好准备，同时增强表达能力及自信心。
2.合作探究，小组展示。
探究一：两角差的余弦公式的推导
问题4：问题2中我们所得到的结论对于任意角还成立吗？你能证明吗？
问题5：观察我们得到结论的形式，你能联想到什么呢？
探究二：两角和的余弦公式的推导
问题6：你能根据差角的余弦公式推导出和角的余弦公式吗？
问题7：比较差角的余弦公式与和角的余弦公式，它们在结构上有何异同点？
通过小组展示，各个小组之间产生思维的碰撞，迸出火花，得到新的灵感与智慧。从而培养学生团结协作与小组合作的能力。
3.巩固知识，例题讲解。
例1：利用两角和与差的余弦公式证明下列诱导公式：
例3：化简cos100°cos40°+sin80°sin40°
设计意图：教师对各小组展示内容做适当点评，并且对“向量法证明的优点”，“向量法证明过程的完善”，“向量法中向量夹角与两角差的范围的统一”做简要讲解。
例1，例2都是公式的直接应用。例1让学生体会诱导公式将余弦的和差角公式推导出正弦的和差角公式，为下节课埋下伏笔。例2中根据cos15°的值求sin15°的值，tan15°的值的过程都是为推导正弦和差公式，正切和差公式做铺垫。
变式将例2中具体的角变成抽象的角，利用同角三角函数公式求解。在由sinα的值求cosα的值或由cosβ的值求sinβ的值时，要注意根据角的范围确定三角函数值的符号。 例3：是公式的逆用，培养学生逆向思维的能力，让学生对公式结构再认识。
4.提升总结，巩固练习。
提升总结：针对上面的3个例题，谈谈你学到了什么？
（2）利用两角和差的余弦公式求值时，应注意观察、分析题设和公式的结构特点，从整体上把握公式，灵活的运用公式。
（3）在解题过程中，要注意角的范围，确定三角函数值的符号，以防增根、漏根。 设计意图：主要以学生总结为主，老师做适当点评及补充。
七、教学反思
本节课主要以学生的自主学习、小组合作为主，充分发挥了学生的自主探究能力和团队协作能力，提高了学生发现问题、探究问题和解决问题的能力。情境创设中利用三个问题让学生在课前提前熟悉本节课所学的内容“是什么”，“我能得到哪些结论”，调动了学生的思维与学习的积极性，激发了学生的求知欲。但是
但是如果给出图像，则又会限制数学优秀的学生的解题思路与方法，这对矛盾是由学生的差异所决定的。教师在课堂上应指导、启发学生，注意教学的示范性，明确解题的规范性，实现学生在学习过程中知识的跨越。总之，教学有法，教无定法，贵在得法，为了提高课堂教学效率，我们要从学生的实际出发，以学法带动教法，为高效课堂保驾护航。
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初中数学三角函数和差化积公式表
数学公式的学习需要公式定理的积累外，还需要大家在试题中的运用。
三角函数和差化积公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
初中数学的三角函数和差化积公式是我们在考试中经常会遇见的解题公式。
初中数学正方形定理公式
关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。
正方形的特征：
①正方形的四边相等；
②正方形的四个角都是直角；
③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；
正方形的判定：
①有一个角是直角的菱形是正方形；
②有一组邻边相等的矩形是正方形。
希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。
初中数学平行四边形定理公式
平行四边形的性质：
①平行四边形的对边相等；
②平行四边形的对角相等；
③平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形的判定：
①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③对角线互相平分的四边形是平行四边形；
④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。
初中数学直角三角形定理公式
直角三角形的性质：
①直角三角形的两个锐角互为余角；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；
④直角三角形中30度
角所对的直角边等于斜边的一半；
直角三角形的判定：
①有两个角互余的三角形是直角三角形；
②如果三角形的三边长a、b 、c有下面关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。
以上对数学直角三角形定理公式的内容讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学等腰三角形的'性质定理公式
等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两个底角相等；
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）
上面对等腰三角形的性质定理公式的内容讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，希望同学们在考试中取得很好的成绩。
初中数学三角形定理公式
对于三角形定理公式的学习，我们做下面的内容讲解学习哦。
三角形
三角形的三边关系定理及推论：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度；
三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和；
三角形的外角和定理推理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
三角形的三条角平分线交于一点（内心）；
三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）；
三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半；
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尊敬的各位评委、各位老师：
大家好！今天我说课的题目是《二次函数的图像》，这是北师大版必修1第二章的第四节课。下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”、“为什么这样教？”三个问题，从教材内容、教法学法、教学过程这三个方面逐一分析说明。
一、教材内容分析：
１、本节课内容在整个教材中的地位和作用。
概括地讲，二次函数的图像在教材中起着承上启下的作用，它的地位体现在它的思想的基础性。一方面，本节课是对初中有关内容的深化，为后面进一步学习二次函数的性质打下基础；另一方面，二次函数解析式中的系数由常数转变为参数，使学生对二次函数的图像由感性认识上升到理性认识，能培养学生利用数形结合思想解决问题的能力。
2、教学目标定位。
根据教学大纲要求、新课程标准精神和高一学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标。第一个层面是基础知识与能力目标：理解二次函数的图像中a、b、c、k、h的作用，能熟练地对二次函数的一般式进行配方，会对图像进行平移变换，领会研究二次函数图像的方法，培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力；第二个层面是过程和方法：让学生经历作图、观察、比较、归纳的学习过程，使学生掌握类比、化归等数学思想方法，养成即能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯；第三个层面是情感、态度和价值观：在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。
3、教学重难点。
重点是二次函数各系数对图像和形状的影响，利用二次函数图像平移的特例分析过程，培养学生数形结合的思想和划归思想。难点是图像的平移变换，关键是二次函数顶点式中h、k的正负取值对函数图像平移变换的影响。
二、教法学法分析：
数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，感受数学的自然美。为了更好地体现在课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。为此，我设计了5个环节：①创设情景——引入新课；②交流探究——发现规律；③启发引导——形成结论；④训练小结——深化巩固；⑤思维拓展——提高能力。这五个环节环环相扣、层层深入，注重关注整个过程和全体学生，充分调动了学生的.参与性。
三、教学过程分析：
1、创设情景——引入新课。
教学应充分考虑学生的情感和需要，想方设法让学生在学习中树立信心，感受学习乐趣。根据教材内容，我首先出示20xx年高考题第20题，以需要画y=2x图像为引子，让学生画y=x和y=2x图像，进而比较这两个图像的相同点和不同点为背景切入，一方面让学生总结复习已有知识，为后面的学习做好铺垫，另一方面，使学生在自己熟悉的问题中首先获得解题成功的快乐体验，最后引导学生总结出函数y=x与y=ax图像的关系，得出本节课的第一个知识点，即二次项系数a决定图像的开口方向和开口大小。
由浅入深，下面让学生画y=2x，y=2（x+1）与y=2（x+1）+3的图像并寻找它们的联系，再让学生与多媒体课件展示出的图像进行对比，最后总结出图像的变换规律：a决定开口方向、h决定左右平移、k决定上下平移。由于二次函数的重要性，本节课我以考题为背景引入新课，可以提高学生的学习兴趣，吸引学生的课堂注意力，可以让学生实实在在感受到高考题就在我们的课本中，就在我们平常的练习中。
2、探究交流——发现规律。
从特别到一般是我们发现问题、寻求规律、揭示本质最常用的方法之一。让学生做出y=2x与y=2x+4x-1的图像，再与课件上的图像对比并叙述二者之间的位置关系，得出结论：若二次函数的解析式为y=ax+bx+c，先将其化成y=a（x+h）+k的形式，从而判断出y=ax+bx+c的图像是如何由y=ax变换得到的。在课本第42页例1（1）中要提醒学生注意，在含有参数的解析式y=a（x+h）+k中，顶点坐标应是(-h，k)，而不是(h，k)。所以，例1（1）中二次函数f(x)顶点的横坐标是4，即-h=4，h=-4，括号里面就是x-4（这里容易出错）。例1（2）中h、k的值是已知的，只需要确定a的值就可以了。
３、启发引导——形成结论。前面的练习和例题，基本涵盖了二次函数图像平移变换的各种情况，启发并引导了学生将实例的结论进行总结，得出y=x到y=ax，y=ax到y=a（x+h）+k,y=ax到y=ax+bx+c(其中，a均不为0)的图像变化过程，即a>0开口向上，a<0开口向下；h正左移，h负右移；k正上移，k负下移。
４、练习小结——巩固深化。为了巩固和加深二次函数y=ax+bx+c中的a.b.c对图像的影响，接下来组织学生进行课题练习，完成课本44页练习1—3题。上课时间有限，为保证在完成教学任务的前提下，让学生充分练习和讨论，我一直坚持让学生规范使用演草本。课堂上需要学生动手演练的地方不急于安排学生马上讨论，而是让学生思考后将自己的答案整齐地写在演草本上，然后小组内四人相互交换进行量分，因为是在课堂上，量分标准要简单，我要求用30分的整分制。用时较短10分，书写整齐规范10分，解答正确10分。这个过程中会产生学生之间的三次竞争: ①看谁解的快、用时最短；②看谁书写的整齐；③看谁做的对。这个自己做和批阅的过程，也是学生对题目加深理解的过程。量完分后组织学生对不同解法进行探究，这又会产生学生之间的第四次竞争，看谁的方法简便，思维更严密。当然做题时有的学生会做的很快，可以让他们判断黑板上演示学生的解题得分情况，这也促进在黑板上演示的学生同下面学生之间的竞争。这个充满竞争的过程其实也是教师通过演草本无形引导学生解决问题、收获新知的过程，也是一个培养学生探究精神和思考、比较、辨别能力的过程，使学生成为学习上的主人。这样每节课都有竞争，能使学生发现自己在学习的长处，增强了自己的自信心，切实感受到了学习的乐趣，课堂才能真正的活起来。考试中，成绩必然会逐步提高，能避免现在我们教学中学生“考试什么都不会，考完后什么都会”以及阅卷中发现的学生书写凌乱的通病，经过长期这样的练习，每个学生练就了快思考、求准确、写整齐的能力。
5、延伸拓广——提高能力。课堂教学既要面对全体学生，又应关注学生的个体差异，体现分类推进，分层教学原则。为此，我设计了一个提高练习题组，共两道被选题目，以供学有余力的学生能够更好的展示自己的解题能力，取得进一步提高。
以上是我对本节课的一些粗浅的熟悉和构想，如有不妥之处，恳请各位专家、各位同仁批评指正。
谢谢大家！
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从这节课的准备来看，针对教学内容从课题的引入、知识的呈现方式、学生的学习活动安排、知识的巩固练习等多方面进行了多次的修改。
通过课堂的实际实施感觉上也不是尽善尽美，还有令人不满意的地方。教师应该通观教材，把握知识的脉络体系，又要站在高于教材的位置统筹安排。这样，教师才能灵活的把握课堂教学。而现在，教师缺乏的正是这一点，还是为了教而教。按部就班，设计的条条框框较多，多了一些稳重，少了一些灵活。而在课堂上，教师面对的是数十名学生，师生之间、生生之间考虑问题的角度、方式要灵活的多、开放的多，有可能教师固定的设计会影响到学生的思维发展。从这一角度讲，教师应在把握知识的基础上。结合学生的表现，灵活多样的处理知识。学生是学习的主体，学生活动是新教材的一大特点。新教材在知识安排上，往往从实例引入，抽象出数学模型。通过学生的观察、分析、比较、归纳，探究知识的发生、发展、形成的过程，得出结论，并能运用解决实际问题。侧重于学生能力的培养，让学生知道学什么，如何学。因此，教学过程中，如何安排学生的学习活动至关重要，本节课，学生活动设计了三个方面。一是通过画函数图象理解一次函数图象的形状，二是两点法画一次函数的图象，三是探究一次函数的图象与k、b符号的关系。
在学生活动中，如何调动学生的积极性、互动性，提高学生活动的实效性。值得老师们探讨。为了达到上述目的，我结合每个活动，都给学生明确的目的和要求，而且提供操作性很强的程序和题目。如在活动一中，要求学生观察图象的.形状，两条直线的位置关系。
在活动二中，强调两点法（直线与坐标轴的交点）画直线。在活动三中，探究k、b符号与直线经过的象限与增减性的关系。学生目标明确，操作性强，受到了较好的效果。本节课的重点是由一次函数的解析式确定函数图象，研究函数性质。由函数图象的位置判断解析式中k、b符号。体现了数学中非常重要地数形结合的思想。这段内容的教学，还是从学生活动出发，从具体的实例研究起，观察图象的位置和性质，在按照k、b的符号分类讨论，使学生建立起数形之间的联系。还要找到数形间的结合点，明确k的符号决定直线的什么位置，b的符号又决定了什么。为了加深学生对知识的理解，课上设计了由解析式画函数图象的草图，由草图的位置判断解析式中k、b的符号的练习，收到了一定的效果。
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1数轴
11 有向直线
在科学技术和日常生活中,为了区别一条直线的两个不同方向,可以规定其中一方向为正向,另一方向为负相
规定了正方向的直线,叫做有向直线,读作有向直线l
12 数轴
我们把数轴上任意一点所对应的实数称为点的坐标
对于每一个坐标(实数),在数周上可以找到唯一的点与之对应这就是直线的坐标化
数轴上任意一条有向线段的数量等于它的终点坐标与起点坐标的差任意一条有向线段的长度等于它两个断电坐标差的绝对值
2 平面直角坐标系
21 平面的直角坐标化
在平面内任取一点o为作为原点(基准点),过o引两条互相垂直的,以o为公共原点的数轴,一般地,两个数轴选取相同的单位长度这样就构成了一个平面直角坐标系x轴叫横轴,y轴叫纵轴,它们都叫直角坐标系的坐标轴;公共原点o称为直角坐标系的原点;我们把建立了直角坐标系的平面叫直角坐标平面简称坐标平面两坐标轴把坐标平面分成四个部分,它们叫做四个象限
22 两点间的距离
23 中点公式
3 函数
31 常量,变量和函数
在某一过程中可以去不同数值的量,叫做变量在整个过程中保持统一数值的量或数,叫做常量或常数
一般地,设在变活过程中有两个互相关联的变量x,y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么就称y是x的函数,x叫做自变量
1. 函数的定义域
2. 对应法则
(1) 解析法
就是用等式来表示一个变量是另一个变量的函数,这个等式叫做函数的解析表达式(函数关系式)
(2) 列表法
(3) 图像法
3 函数的值域
一般的,当函数f(x)的自变量x去定义域D中的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值这个对应值,称为x=a时的函数值,简称函数值,记作:f(a)
32 函数的图像
若把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,可以在直角坐标平面上描出一个点(x,f(x))的集合构成一个图形F,而集F成为函数y=f(x)的图像
知道函数的解析式,要画函数的图像,一般分为列表,描点,连线三个步骤
4 正比例函数
41 正比例函数
一般地,函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数,其中常数k叫做变量y与x之间的比例函数确定了比例函数k,就可以确定一个正比例函数
正比例函数y=kx有下列性质:
(3) 当k>0时,它的图像经过第一,三象限,y随着x的值增大而增大;当k<0时,他的图像经过第二,四象限,y随着x的增大而减小
(2)随着比例函数的绝对值的增加,函数图像渐渐离开x轴而接近于y轴,因此,比例系数k和直线y=kx与x轴正方向所成的角有关据此,k叫做直线y=kx的斜率
42 反比例函数
一般地,函数y=k/x(k是不等于0的常数)叫做反比例函数
反比例函数y=k/x有下列性质:
(7) 当k>0时,他的图像的两个分支分别位于第一,三象限内,在每一个象限内,y随x的值增大而减小;当k<0时,它的图像的两个分支分别位于第二、四象限内,在每一个象限内,y随x的增大而增大
(8) 它的图像的两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴
5 一次函数及其图像
51 一次函数及其图像
如果k=0时,函数变形为y=b,无论x在其定义域内取何值,y都有唯一确定的值b与之对应,这样的函数我们称它为常函数
直线y=kx+b与y轴交与点(0,b),b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距,简称纵截距
52 一次函数的性质
函数y=f(小),在a〈x〈b上,如果函数值随着自变量x的值增加而增加,那么我们说函数f(x)在a〈x
如果分别画出两个二元一次方程所对应的一次函数图像,交点的坐标就是这个方程组的解,这种求二元一次方程组的解法叫图像法
初中数学正方形定理公式
关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。
正方形定理公式
正方形的特征：
①正方形的四边相等；
②正方形的四个角都是直角；
③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；
正方形的判定：
①有一个角是直角的菱形是正方形；
②有一组邻边相等的矩形是正方形。
希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。
初中数学平行四边形定理公式
同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。
平行四边形
平行四边形的性质：
①平行四边形的对边相等；
②平行四边形的对角相等；
③平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形的判定：
①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③对角线互相平分的四边形是平行四边形；
④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。
初中数学直角三角形定理公式
下面是对直角三角形定理公式的内容讲解，希望给同学们的学习很好的帮助。
直角三角形的性质：
①直角三角形的两个锐角互为余角；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；
④直角三角形中30度
角所对的直角边等于斜边的一半；
直角三角形的判定：
①有两个角互余的三角形是直角三角形；
②如果三角形的三边长a、b 、c有下面关系a^2+b^2=c^2
，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。
以上对数学直角三角形定理公式的内容讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学等腰三角形的性质定理公式
下面是对等腰三角形的性质定理公式的内容学习，希望同学们认真看看。
等腰三角形的'性质：
①等腰三角形的两个底角相等；
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）
上面对等腰三角形的性质定理公式的内容讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，希望同学们在考试中取得很好的成绩。
初中数学三角形定理公式
对于三角形定理公式的学习，我们做下面的内容讲解学习哦。
三角形
三角形的三边关系定理及推论：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度；
三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和；
三角形的外角和定理推理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
三角形的三条角平分线交于一点（内心）；
三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）；
三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半；
以上对三角形定理公式的内容讲解学习，希望同学们都能很好的掌握，并在考试中取得很好的成绩哦。
常用函数图像14
今天上午听了我校数学老师唐的《正弦函数图像和性质》一节课，本节课教学设计好，课件制作实用性强，教学流程清楚，环节紧凑、流畅。唐老师授课思路清晰，结构严谨，重难点突出，讲解语言精炼，板书工整，特别注重启发引导，突出学生的主体性地位，引导学生进行主动探究，营造了积极、宽松的教学氛围。具体来说，唐老师的课有如下特点：
1. 教学定位非常准
唐老师对课标的解读、教材的分析有自己独到的见解，教学设计中教学目标、教学重难点把握到位，课堂教学中把握住正弦函数图像及五点法画法这一既是重点又是难点的内容展开，引导学生进行自主探究，深入理解，抓住教学的.关键点，有效的突出了教学重点、突破了教学难点。
2. 课件制作实用性强
唐老师的课件制作针对性强，动画演示效果好，很好的辅助学生理解正弦函数的图像画法的过程。
3. 课堂驾驭能力强
唐老师上课教态自然，语言语调好，板书清楚有条理，个人基本功非常扎实，能与学生进行有效沟通，而且舍得把时间给学生去板演作图、去交流思考思路、去讲解解决问题过程，善于启发调动学生学习的主动性，有较强的驾驭课堂的能力。这是一节非常成功的公开课 。
常用函数图像15
教学目标
(一)知道函数图象的意义；
(二)能画出简单函数的图象，会列表、描点、连线；
(三)能从图像上由自变量的值求出对应的函数的近似值。
教学重点和难点
重点：认识函数图象的意义，会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象。
难点：对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化关系。
教学过程设计
(一)复习
1。什么叫函数?
2。什么叫平面直角坐标系?
3。在坐标平面内，什么叫点的横坐标?什么叫点的纵坐标?
4。如果点A的横坐标为3，纵坐标为5，请用记号表示点A(答：A(3，5))。
5。请在坐标平面内画出A点。
6。如果已知一个点的坐标，可在坐标平面内画出几个点?反过来，如果坐标平面内的一个点确定，这个点的坐标有几个?这样的点和坐标的对应关系，叫做什么对应?(答：叫做坐标平面内的点与有序数对一一对应)
(二)新课
我们在前几节课已经知道，函数关系可以用解析式表示。像y=2x+1就表示以x为自变量时，y是x的函数。
这个函数关系中，y与x的对应关系，我们还可以用在坐标平面内画出图象的方法表示。
具体做法是
第一步：列表。(写出自变量x与函数值的对应表)先确定x的若干个值，然后填入相应的y值。
(这种用表格表示函数关系的方法叫做列表法)
第二步：描点，对于表中的每一组对应值，以x值作为点的横坐标，以对应的y值作为点的纵坐标，便可画出一个点。也就是由表中给出的有序实数时，在直角坐标中描出相应的点。
第三步：连线，按照横坐标由小到大的顺序把相邻两点用线段连结起来，得到的图形就是函数式y=2x+1图象。
例1 在同一直角坐标系中画出下列函数式的图像：
(1) y=-3x; (2)y=-3x+2; (3) y=-3x-3。
分析：按照列表、描点、连线三步操作。
解：
它们的图象分别是图13-25中的(1)，(2)，(3)。
例2 某化我厂1月到12日生产某种产品的统计资料如下：
(1) 在直角坐标系中以月份数作为点的横坐标，以该月的产值作为点的纵坐标画出对应的点。把12个点画在同一直角坐标系中。
(2) 按照月份由小到大的顺序，把每两个点用线段连接起来。
(3) 解读图像：从图说出几月到几月产量是上升的、下降的或不升不降的。
(4) 如果从3月到6月的产量是持逐平稳增长的，请在图上查询4月15日的产量大约是多少吨?
解：(1)，(2)见图13-26。
(3) 产量上升：1月到2月；3月，4月，5月，6月逐月上升；10月，11月，12月逐月上升。产量下降：8月到9月，9月到10月。产量不升不降：2月到3月；6月到7月，7月到8月。
(4)过x轴上的4。5处作y轴的平行线，与图象交于点A，则点A的纵坐标约4。5，所以4月15日的`产量约为4。5吨。
(三)课堂练习
已知函数式y=-2x。用列表(x取-2，-1，0，1，2)，描点，连线的程序，画出它的图象。
(四)小结
到现在，我们已经学过了表示函数关系的方法有三种：
1。解析式法——用数学式子表示函数关系。
2。列表法——通过列表给出函数y与自变量x的对应关系。
3。图象法——把自变量x作为点的横坐标，对应的函数值y作为点的纵坐标，在直角坐标系描出对应的点。所有这些点的集合，叫做这个。用图象来表示函数y与自变量x对应关系。
这三种表示函数的方法各有优缺点。
1。用解析法表示函数关系
优点：简间明了。能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合于进行理论分析和推导计算。
缺点：在求对应值时，有进要做较复杂的计算。
2。用列表法表示函数关系
优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便。
缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律。
3。用图象法表示函数关系
优点：形象直观。可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化。
缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值。
函数的三种基本表示方法，各有各的优点和缺点。因此，要根据不同问题与需要，灵活地采用不同的方法。在数学或其他科学研究与应用上，有时把这三种方法结合起来使用，即由已知的函数解析式，列出自变量与对应的函数值的表格，再画出它的图像。
(五)作业
1。在图13-27中，不能表示函数关系的图形有( )。
(A) (a)，(b)，(c) (B)(b)，(c)，(d) (C) (b)，(c)(e) (D)(b)，(d)，(e)
2。函数 的图象是图13-28中的( )。
3。矩形的周长是12cm，设矩形的宽为x(cm)，面积为y(cm2)。
(1) 以x为自变量，y为x的函数，写出函数关系式，并在关系式后面注明x的取值范围；
(2) 列表、描点、连线画出此函数的图象。
4。(1) 画出函数y=- x+2的图象(在-4与4之间，每隔1取一个x值，列表；并在直角坐标系中描点画图)；
(2) 判断下列各有序实数地是不是函数。y=- x+2的自变量x与函数y的一对对应值，如果是，检验一下具有相庆坐标的点是否在你所画的函数图像上：
5。画出下列函数的图象：
(1) y=4x-1; (2)y=4x+1。
6。图13-29是北京春季某一天的气温随时间变化的图象。根据图象回答，在这一天：
(1)8时，12时，20时的气温各是多少；
(2)最高气温与最低气温各是多少；
(3)什么时间气温高，什么时间气温最低。
7。画出函数y=x2的图象(先填下表，再描点，然后用平滑曲线顺次连结各点)；
8。画出函数 的图象(先填下表，再描点，然后用平滑曲线顺序连结各点)：
作业的答案或提示
1。选(C)。因为对应于x的一个值的y值不是唯一的。
2。选(D)。当x＜0时，｜x｜=-x，所以 ，当x＞0时，｜x｜=x，所以
3。
(1) y=x(6-x)其中0＜x＜6，(图13-30)。
(2)
4。
5。
见图13-32。
6。(1) 8时约5℃，12时约11℃，20时约10℃。
(2) 最高气温为12℃，最低气温为2℃。
(2) (2) 14时气温最高，4时气温最低。
7。
课堂教学设计说明
1。在建立平面直角坐标系后，点的坐标(有序实数对)与坐标平面内的点一一对应；不同的坐标与不同的点一一对应；函数关系与动点轨迹一一对应。把抽象的数量关系与形象直观的图形联系起来，通过解读图象，了解抽象的数量关系，这种“数形结合”，是数学中的一种重要的思想方法。
2。本课的目标是使学生会画函图象，并会解读图象，即会从图象了解到抽象的数量关系。为此，先在复习旧课时，着重提问会标平面上的点与有序实数对一一对应。接着在新课开始时介绍了画函数图象的三个步骤。
3。教学设计中的例3，即训练学生从已有数据画图象，又训练学生逆向思维、解读图象、在图象上估计某日产量的能力。对函数图象功能有一个完整的认识。
4。在小结中，介绍了函数关系的三种不示方法，并说明它们各自的优缺点。有利于对函数概念的透彻理解。
5。作业中的第1～3题，对训练函数概念及函数图象很有帮助。
第1题，目的要说明，对于x的一个值，必须是唯一的值与之对应。而(b)，(c)，(e)都是对于x一个值，y有不止一个值与之对应，所以y不是x的函数。本题还训练解读形的能力。
第2题，训练学生分类讨论的数学思想，在去掉绝对值符号对，必须分x≥0与x＜0讨论。
第3题，训练学生根据已知条件建立函数解析式，并列表、描点、连线画出图象的能力。
这些都是学习函数问题时应具备的基本功。
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