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立体几何专项复习题目及答案

试题 时间:2018-06-25 我要投稿
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  习题课

  【课时目标】 1.能熟练应用直线、平面平行与垂直的判定及性质进行有关的证明.2.进一步体会化归思想在证明中的应用.

  a、b、c表示直线,α、β、γ表示平面.

  位置

  关系判定定理

  (符号语言)性质定理

  (符号语言)

  直线与平面平行a∥b且__________?a∥αa∥α,________________?a∥b

  平面与平面平行a∥α,b∥α,且________________?α∥βα∥β,________________?a∥b

  直线与平面垂直l⊥a,l⊥b,且____________?l⊥αa⊥α,b⊥α?____

  平面与平面垂直a⊥α,____?α⊥βα⊥β,α∩β=a,

  __________?b⊥β

  一、填空题

  1.不同直线m、n和不同平面α、β.给出下列命题:

  ①α∥βm?α?m∥β; ②m∥nm∥β?n∥β;

  ③m?αn?β?m,n异面; ④α⊥βm∥α?m⊥β.

  其中假命题的个数为________.

  2.下列命题中:(1)平行于同一直线的两个平面平行;(2)平行于同一平面的两个平面平行;(3)垂直于同一直线的两直线平行;(4)垂直于同一平面的两直线平行.其中正确命题的为________.

  3.若a、b表示直线,α表示平面,下列命题中正确的有________个.

  ①a⊥α,b∥α?a⊥b;②a⊥α,a⊥b?b∥α;③a∥α,a⊥b?b⊥α.

  4.过平面外一点P:①存在无数条直线与平面α平行;②存在无数条直线与平面α垂直;③有且只有一条直线与平面α平行;④有且只有一条直线与平面α垂直,其中真命题的个数是________.

  5.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总是保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是________.

  6.设a,b为两条直线,α,β为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是________.

  ①若a,b与α所成的角相等,则a∥b;

  ②若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b;

  ③若a?α,b?β,a∥b,则α∥β;

  ④若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b.

  7.三棱锥D-ABC的三个侧面分别与底面全等,且AB=AC=3,BC=2,则二面角A-BC-D的大小为______.

  8.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”,在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________.

  9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为BD1的中点,则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是________.(填序号)

  二、解答题

  10.如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证:

  (1)DE=DA;

  (2)平面BDM⊥平面ECA;

  (3)平面DEA⊥平面ECA.

  11.如图,棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B.

  (1)证明:平面AB1C⊥平面A1BC1;

  (2)设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD,求A1DDC1的值.

  能力提升

  12.四棱锥P—ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A,其三视图如图:

  (1)根据图中的信息,在四棱锥P—ABCD的侧面、底面和棱中,请把符合要求的结论填写在空格处(每空只要求填一种):

  ①一对互相垂直的异面直线________;

  ②一对互相垂直的平面________;

  ③一对互相垂直的直线和平面________;

  (2)四棱锥P—ABCD的表面积为________.(棱锥的表面积等于棱锥各面的面积之和)

  13.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF,EF∥AB,EF⊥FB,BF=FC,H为BC的中点.

  (1)求证:FH∥平面EDB;

  (2)求证:AC⊥平面EDB.

  转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路,其关系为

  即利用线线平行(垂直),证明线面平行(垂直)或证明面面平行(垂直);反过来,又利用面面平行(垂直),证明线面平行(垂直)或证明线线平行(垂直),甚至平行与垂直之间的转化.这样,来来往往,就如同运用“四渡赤水”的战略战术,达到了出奇制胜的目的.

  习题课 答案

  知识梳理

  位置

  关系判定定理

  (符号语言)性质定理

  (符号语言)

  直线与平面平行a∥b且a?α,b?α?a∥αa∥α,a?β,α∩β=b?a∥b

  平面与平面平行a∥α,b∥α,且a?β,b?β,a∩b=P?α∥βα∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b

  直线与平面垂直l⊥a,l⊥b,且a?α,b?α,a∩b=P?l⊥αa⊥α,b⊥α?a∥b

  平面与平面垂直a⊥α,a?β?α⊥βα⊥β,α∩β=a,b⊥a,b?α?b⊥β

  作业设计

  1.3

  解析 命题①正确,面面平行的性质;命题②不正确,也可能n?β;命题③不正确,如果m、n有一条是α、β的交线,则m、n共面;命题④不正确,m与β的关系不确定.

  2.2

  解析 (2)和(4)对.

  3.1

  解析 ①正确.

  4.2

  解析 ①④正确.

  5.线段B1C

  解析 连结AC,AB1,B1C,

  ∵BD⊥AC,AC⊥DD1,

  BD∩DD1=D,

  ∴AC⊥面BDD1,

  ∴AC⊥BD1,

  同理可证BD1⊥B1C,

  ∴BD1⊥面AB1C.

  ∴P∈B1C时,始终AP⊥BD1.

  6.④

  7.90°

  解析

  由题意画出图形,数据如图,取BC的中点E,

  连结AE、DE,易知∠AED为二面角A—BC—D的平面角.

  可求得AE=DE=2,由此得AE2+DE2=AD2.

  故∠AED=90°.

  8.36

  解析 正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”,12条棱长共对应着24个“正交线面对”;正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”,12条面对角线对应着12个“正交线面对”,共有36个.

  9.①④

  10.证明 (1)如图所示,

  取EC的中点F,连结DF,∵EC⊥平面ABC,

  ∴EC⊥BC,又由已知得DF∥BC,

  ∴DF⊥EC.

  在Rt△EFD和Rt△DBA中,

  ∵EF=12EC=BD,

  FD=BC=AB,

  ∴Rt△EFD≌Rt△DBA,

  故ED=DA.

  (2)取CA的中点N,连结MN、BN,

  则MN?12EC,

  ∴MN∥BD,∴N在平面BDM内,

  ∵EC⊥平面ABC,∴EC⊥BN.又CA⊥BN,

  ∴BN⊥平面ECA,BN?平面MNBD,

  ∴平面MNBD⊥平面ECA.

  即平面BDM⊥平面ECA.

  (3)∵BD?12EC,MN?12EC,

  ∴BD?MN,

  ∴MNBD为平行四边形,

  ∴DM∥BN,∵BN⊥平面ECA,

  ∴DM⊥平面ECA,又DM?平面DEA,

  ∴平面DEA⊥平面ECA.

  11.(1)证明 因为侧面BCC1B1是菱形,

  所以B1C⊥BC1.

  又B1C⊥A1B,

  且A1B∩BC1=B,

  所以B1C⊥平面A1BC1.

  又B1C?平面AB1C,

  所以平面AB1C⊥平面A1BC1.

  (2)解 设BC1交B1C于点E,连结DE,则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线.

  因为A1B∥平面B1CD,所以A1B∥DE.

  又E是BC1的中点,所以D为A1C1的中点,

  即A1DDC1=1.

  12.(1)①PA⊥BC(或PA⊥CD或AB⊥PD)

  ②平面PAB⊥平面ABCD(或平面PAD⊥平面ABCD或平面PAB⊥平面PAD或平面PCD⊥平面PAD或平面PBC⊥平面PAB)

  ③PA⊥平面ABCD(或AB⊥平面PAD或CD⊥平面PAD或AD⊥平面PAB或BC⊥平面PAB)

  (2)2a2+2a2

  解析 (2)依题意:正方形的面积是a2,

  S△PAB=S△PAD=12a2.

  又PB=PD=2a,∴S△PBC=S△PCD=22a2.

  所以四棱锥P—ABCD的表面积是

  S=2a2+2a2.

  13.

  (1)证明 如图,设AC与BD交于点G,则G为AC的中点.连结EG,GH,由于H为BC的中点,

  故GH?12AB.

  又EF?12AB,∴EF?GH.

  ∴四边形EFHG为平行四边形.

  ∴EG∥FH.

  而EG?平面EDB,FH?平面EDB,

  ∴FH∥平面EDB.

  (2)证明 由四边形ABCD为正方形,

  得AB⊥BC.

  又EF∥AB,∴EF⊥BC.

  而EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC.

  ∴EF⊥FH.

  ∴AB⊥FH.

  又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC.

  ∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.

  又FH∥EG,∴AC⊥EG.

  又AC⊥BD,EG∩BD=G,

  ∴AC⊥平面EDB.

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