关于应用举例的测试题
一、选择题
1.飞机沿水平方向飞行，在处测得正前下方地面目标的俯角为，向前飞行米，到达处，此时测得目标的俯角为，这时飞机与地面目标的直线距离为( ).
A.米 B.米 C.米 D.米
考查目的：考查正弦定理的应用.
答案：B.
解析：如图，在中，根据正弦定理得，解得(米).
2.某人向正东方向走，然后右转，朝前走，结果他离出发点恰好，则的值为( ).
A. B. C.或 D.
考查目的：考查余弦定理、方程思想.
答案：C.
解析：根据余弦定理得，化简并整理得，解得或.
3. (由2010浙江文改编)在中，角所对的边分别为，设为的面积，满足，则角的大小为( ).
A. B. C.或 D.或
考查目的：考查余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识.
答案：B
解析：∵，∴根据余弦定理和三角形面积公式得，∴，.
二、填空题
4.(2008江苏卷)在中，若，，则的最大值是 .
考查目的：考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．
答案：.
解析：设，则，根据面积公式得；根据余弦定理得，∴，
由三角形三边关系有，解得，故当时，取得最大值.
5.(2011安徽理)已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________.
考查目的'：考查余弦定理、等差数列的概念及三角形面积公式.
答案：.
解析：根据题意，可设的三边长分别为，由得.由余弦定理得，解得(舍去)，∴
6.如图，某炮兵阵地位于点，两观察所位于两点，已知为正三角形，且，当目标出现在时，测得，则炮兵阵地与目标的距离约为 (精确到).
考查目的：考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的能力.
答案：.
解析：如图，，在中，由正弦定理得，∴.在中，，由余弦定理得
三、解答题：
7.(2007海南、宁夏)如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与．现测得，，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．
考查目的：考查正弦定理、直角三角形的边角关系以及空间想象能力和运算求解能力.
答案：.
解析：在中，．由正弦定理得，∴.在中，．
8.(2010福建理)某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距海里的处，并以海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇.
⑴若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
⑵假设小艇的最高航行速度只能达到海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.
考查目的：考查利用直角三角形的边角关系、余弦定理解三角形，以及综合运用知识分析问题解决问题的能力.
答案：⑴海里/小时，⑵航行方向是北偏东，航行速度为海里/小时.
解析：(方法一)⑴设相遇时小艇航行的距离为海里，则 ，∴当时，，此时，即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.
⑵设小艇与轮船在处相遇，则，∴. ∵，∴，即，解得.又∵时，，故时，取得最小值，且最小值等于.
此时，在中，有，故可设计航行方案如下：航行方向是北偏东，航行速度为海里/小时，这样，小艇能以最短时间与轮船相遇.
(方法二)⑴若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向，设小艇与轮船在处相遇. 在中，，；又，，此时，轮船航行时间，即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.
⑵猜想时，小艇能以最短时间与轮船在处相遇，此时.又∵，∴，解得.
据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度的大小为海里/小时，这样，小艇能以最短时间与轮船相遇. 证明如下：
如图，由⑴得，故，且对于线段上任意点，有. 而小艇的最高航行速度只能达到海里/小时，故小艇与轮船不可能在，之间(包含)的任意位置相遇.
设，则在中，.由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，∴，由此可得，.又∵，∴，从而，由于时，取得最小值，于是当时，取得最小值，且最小值为，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.
(方法三)⑴同方法一或方法二.
⑵设小艇与轮船在处相遇，依题意得，∴.
(i)若，则由得，，∴.①当时，令，则，，当且仅当即时等号成立.
②当时，同理可得. 由①②得，当时，.
(ii)若，则.
综合(i)(ii)可知，当时，取最小值，此时，在中，，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.
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