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角的概念的推广练习题

试题 时间:2018-07-11 我要投稿
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  角度是数学里面一个重要的知识点,它可以推广引出三角函数等等知识。以下是小编精心准备的角的概念的推广练习题,大家可以参考以下内容哦!

  (文)(2011广州检测)若sinα<0且tanα>0,则α是(  )

  A.第一象限角      B.第二象限 角

  C.第三象限角   D.第四象限角

  [答案] C

  [解析] ∵sinα<0,∴α为第三、四象限角或终边落在y轴负半轴上,

  ∵tan α>0,∴α为第一、三象限角,

  ∴α为第三象限角.

  (理)(2011绵阳二诊)已知角A同时满足sinA>0且tanA<0,则角A的终边一定落在(  )

  A.第一象限       B.第二象限

  C.第三象限   D.第四象限

  [答案] B

  [解析] 由sinA>0且tanA<0可知,cosA<0,所以角A的终边一定落在第二象限.选B.

  2.(文)(2011杭州模拟)已知角α终边上一点Psin2π3,cos2π3,则角α的最小正值为(  )

  A.56π   B.116π

  C.23π   D.53π

  [答案] B

  [解析] 由条件知,cosα=sin2π3=sinπ3=32,

  sinα=cos2π3=-cosπ3=-12,

  ∴角α为第四象限角,[来源:Z。xx。k.Com]

  ∴α=2π-π6=11π6,故选B.

  (理)已知锐角α终边上一点P的坐标是(4sin3,-4cos3),则α等于(  )

  A.3   B.-3

  C.3-π2   D.π2-3

  [答案] C

  [解析] 点P位于第一象限,且

  tanα=-cot3=-tanπ2-3=tan3-π2,

  ∵3-π2∈0,π2,∴α=3-π2.

  3.(文)设0≤θ<2π,如果sinθ>0且cos2θ>0,则θ的取值范围是(  )

  A.0<θ<3π4   B.0<θ<π4或3π4<θ<π

  C.3π4<θ<π   D.3π4<θ<5π4

  [答案] B

  [解析] ∵0≤θ<2π,且sinθ>0,∴0<θ<π.

  又由cos2θ>0得,2kπ-π2<2θ<2kπ+π2,

  即kπ-π4<θ<kπ+π4(k∈Z).∵0<θ<π,

  ∴θ的取值范围是0<θ<π4或3π4<θ<π.

  (理)(2011 海口模拟)已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,则在[0,2π]内α的取值范围是(  )

  A.( π4,π2)   B.(π,5π4)

  C.(3π4,5π4)   D.(π4,π2)∪(π,5π4)

  [答案] D

  [解析] ∵P点在第一象限,∴sinα-cosα>0,tanα>0,

  如图,使sinα>cosα的角α终边在直线y=x上方,使tanα>0的角α终边位于第一、三象限,又0≤α≤2π,∴π4<α<π2或π<α<5π4.

  4.已知点P(1,2)在角α的终边上,则6sinα+cosα3sinα-2cosα的值为(  )

  A.3   B.134

  C.4   D.174

  [答案] B

  [解析] 由条件知tanα=2,

  ∴6sinα+cosα3sinα-2cosα=6tanα+13tanα-2=134.

  5.(2011新课标全国理,5)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ=(  )

  A.- 45   B.- 35

  C.35   D.45

  [答案] B

  [解析] 依题意:tanθ=±2,∴cosθ=±15,

  ∴cos2θ=2cos2θ-1=25-1=-35或cos2θ=cos2θ-sin2θcos2θ+sin2θ=1-tan2θ1+tan2θ=1-41+4=-35,故选B.

  6.(2010广东佛山顺德区质检)函数f(x )=sinx在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=-1,f(b)=1,则c osa+b2=(  )

  A.0   B.22

  C.-1   D.1

  [答案] D

  [解析] 由条件知,a=-π2+2kπ (k∈Z),b=π2+2 kπ,∴cosa+b2=cos2kπ=1.

  7.(文)(2011北京东城区质检)若点P(x,y)是300°角终边上异于原点的一点,则yx的值为________.

  [答案] -3

  [解析] 依题意,知yx=tan300°=-tan60°=-3.

  (理)(2011太原调研)已知角α的顶点在原点,始边与x轴正半轴重合,点P(-4m,3m )(m>0)是角α终边上一点,则2sinα+cosα=________.

  [答案] 25

  [解析] 由条件知x=-4m,y=3m,r=x2+y2=5|m|=5m,∴sinα=yr=35,cosα=xr=-45,

  ∴2sinα+cosα=25.

  8.(2011江西文,14)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角θ终边上的一点,且sinθ=- 255,则y=________.

  [答案] -8

  [解析] |OP|=42+y2,根据任意角三角函数的定义得,y42+y2=-255,解得y=±8,

  又∵sinθ=-255<0及P(4,y)是角θ终边上一点,

  可知θ为第四象限角,∴y=-8.

  9.(2010上海嘉定区模拟)如图所示,角α的终边与单位圆(圆心在原点,半径为1的圆)交于第二象限的点Acosα,35,则cosα-sinα=_ _______.

  [答案] -75

  [解析] 由条件知,sinα=35,

  ∴cosα=-45,∴cosα-sinα=-75.

  10.(2011广州模拟)A、B是单位圆O上的动点,且A、B分别在第一、二象限.C是圆O与x轴正半轴的交点,△AOB为正三角形.记∠AOC=α.

  (1)若A点的坐标为35,45,求sin2α+sin2αcos2α+cos2α的值;

  (2)求|BC|2的取值范围.

  [解析] (1)∵A点的坐标为35,45,

  ∴tanα=43,

  ∴sin2α+sin2αcos2α+cos2α=sin2α+2sinαcosα2cos2α-sin2α

  =sin2αcos2α+2×sinαcosα2-sin2αcos2α=tan2α+2tanα2-tan2α=169+832-169=20.

  (2)设A点的坐标为(x,y ),

  ∵△ AOB为正三角形,

  ∴B点的坐标为(cos(α+π3),sin(α+π3)),且C(1,0),

  ∴|BC|2=[cos(α+π3)-1]2+sin2(α+π3)

  =2-2cos(α+π3).

  而A、B分别在第一、二象限,

  ∴α∈(π6,π2).

  ∴α+π3∈(π2,5π6),

  ∴cos(α+π3)∈(-32,0).

  ∴|BC|2的取值范围是(2,2+3).

  11.(文)设α是第二象限角,且|sinα2|=-sinα2,则α2是(  )

  A.第一象限角   B.第二象限角

  C.第三象限角   D.第四象限角

  [答案] C

  [解析] ∵α是第二象限角,∴α2是第一、三象限角,

  又∵sinα2≤0,∴α2是第三象限角,故选C.

  (理)若α是第三象限角,则y=|sinα2|sinα2+|cosα2|cosα2的值为(  )

  A.0   B.2

  C.-2   D.2或-2

  [答案] A

  [解析] ∵α为第三象限角,∴α2为第二、四象限角

  当α2为第二象限角时,y=1-1=0,

  当α2为第四象限角时,y=-1+1=0.

  12.(文)若θ∈3π4,5π4,则复数(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i在复平面内所对应的点在(  )

  A.第一象限   B.第二象限

  C.第三象限   D.第四象限

  [答案] B

  [解析]

  解法1:如图,由单位圆中三角函数线可知,当θ∈3π4,5π4时,

  sinθ+cosθ<0,sinθ-cosθ>0.

  ∴复数(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i在复平面内所对应点在第二象限 .

  解法2:∵cosθ+sinθ=2sinθ+π4,

  sinθ-cosθ=2sinθ-π4,

  又∵θ∈3π4,5π4.∴π<θ+π4<3π2,∴sinθ+π4<0.

  ∵π2<θ+π4<π,∴sinθ-π4>0,

  ∴当θ∈3π4,5π4时,cosθ+sinθ<0,sinθ-cosθ>0.故选B.

  (理)(2011绵阳二诊)记a=sin(cos2010°),b=sin(sin2010°),c=cos(sin2010°),d=cos(cos2010°),则a、b、c、d中最大的是(  )

  A.a    B.b    C.c    D.d

  [答案] C

  [解析] 注意到2010°=360°×5+180°+30°,因此sin2010°=-sin30°=-12,cos201 0°=-cos30°=-32,-π2<-32<0,-π2<-12<0,0<12<32<π2,cos12>cos32>0,a=sin(-32)=-sin32<0,b=sin(-12)=-sin12<0,c=cos(-12)=cos12>0,d=cos(-32)=cos32>0,∴c>d,因此选C.

  [点评] 本题“麻雀虽小,五脏俱全”考查了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数的单调性等,应加强这种难度不大,对基础知识要求掌握熟练的小综合训练.

  13.(文)(2010南京调研)已知角α的终边经过点P(x,-6),且tanα=-35,则x的值为________.

  [答案] 10

  [解析] 根据题意知tanα=-6x=-35,所以x=10.

  (理)已知△ABC是锐角三角形,则点P(cosB-sinA,tanB-cotC),在第________象限.

  [答案] 二

  [解析] ∵△ABC为锐角三角形,∴0<A<π2,

  0<B<π2,0<C<π2,且a+b>π2,B+C>π2,

  ∴π2>A>π2-B>0,π2>B>π2-C>0,

  ∵y=sinx与y=tanx在0,π2上都是增函数,

  ∴sinA>sinπ2-B,tanB>tanπ2-C,

  ∴sinA>cosB,tanB>cotC,∴P在第二象限.

  14.(文)已知下列四个命题

  (1)若点P(a,2a)(a≠0)为角α终边上一点,则sinα=255;

  (2)若α>β且α、β都是第一象限角,则tanα>tanβ;

  (3)若θ是第二象限角,则sinθ2cosθ2>0;

  (4)若sinx+cosx=-75,则tanx<0.

  其中正确命题的序号为________.

  [答案] (3)

  [解析]  (1)取a=1,则r=5,sinα=25=255;

  再取a=-1,r=5,sinα=-25=-255,故(1)错误.

  (2)取α=2π+π6,β=π3,可知tanα=tanπ6=33,tanβ=3,故tanα>tanβ不成立,(2)错误.

  (3)∵θ是第二象限角,∴sinθ2cosθ2=12sinθ>0,∴(3)正确.

  (4)由sinx+cosx=-75<-1可知x为第三象限角,故tanx>0, (4)不正确.

  (理)(2010北京延庆县模拟)直线y=2x+1和圆x2+y2=1交于A,B两点,以x轴的正方向为始边,OA为终边(O是坐标原点)的角为α,OB为终边的角为β,则sin(α+β)=________.

  [答案] -45

  [解析] 将y=2x+1代入x2+y2=1中得,5x2+4x=0,∴x=0或-45,∴A(0,1),B-45,-35,故sinα=1,cosα=0,sinβ=-35,cosβ=-45,

  ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=-45.

  [点评] 也可以由A(0,1)知α=π2,

  ∴sin(α+β)=sinπ2+β=cosβ=-45.

  15.(2010苏北四市模考)在平面直角坐标系xOy中,点P12,cos2θ在角α的终边上,点Q(sin2θ,-1)在角β的终边上,且OP→OQ→=-12.

  (1)求cos2θ的值;

  (2)求sin(α+β)的值.

  [解析] (1)因为OP→OQ→=-12,

  所以12sin2θ-cos2θ=-12,

  即12(1-cos2θ)-cos2θ=-12,所以cos2θ=23,

  所以cos2θ=2cos2θ-1=13.

  (2)因为cos2θ=23,所以sin2θ=13,

  所以点P12,23,点Q13,-1,

  又点P12,23在角α的终边上,

  所以sinα=45,cosα=35.

  同理sinβ=-31010,cosβ=1010,

  所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

  =45×1010+35×-31010=-1010.

  16.周长为20cm的扇形面积最大时,用该扇形卷成圆锥的侧面,求此圆锥的体积.

  [解析] 设扇形半径为r,弧长为l,则l+2r=20,

  ∴l=20-2r,

  S=12rl=12(20-2r)r=(10-r)r,

  ∴当r=5时,S取最大值.

  此时l=10,设卷成圆锥的底半径为R,则2πR=10,

  ∴R=5π,

  ∴圆锥的高h=52-5π2=5π2-1π,

  V=13πR2h=π3×5π25π2-1π=125π2-13π2.

  1.(2011深圳一调、山东济宁一模)已知点P(sin3π4,cos3π4)落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为(  )

  A.π4   B.3π4

  C.5π4   D.7π4

  [答案] D

  [解析] 由sin3π4>0,cos3π4<0知角θ是第四象限的角,∵tanθ=cos3π4sin3π4=-1,θ∈[0,2π),∴θ=7π4.

  2.设a=sinπ6,b=cosπ4,c=π3,d=tanπ4,则下列各式正确的是(  )

  A.a>b>d>c   B.b>a>c>d

  C.c>b>d>a   D.c>d>b>a

  [答案] D

  [解析] 因为a=12,b=22,c=π3>1,d=1,所以a<b<d<c.

  3.(2010衡水市高考模拟)设a=log12 tan70°,b=log12 sin25°,c=log12 cos25°,则它们的大小关系为(  )

  A.a<c<b   B.b<c<a

  C.a<b<c   D.b<a<c

  [答案] A

  [解析] ∵tan70°>cos25°>sin25°>0,log12 x为减函数,∴a<c<b.

  4.如图所示的程序框图,运行后输出结果为(  )

  A.1    B.2680   C.2010   D.1340

  [答案] C

  [解析] ∵f(n)=2sinnπ3+π2+1=2cosnπ3+1.由S=S+f(n)及n=n+1知此程序框图是计算数列an=2cosnπ3+1的前2010项的和.

  即S=2cosπ3+1+2cos2π3+1+2cos3π3+1+…+2cos2010π3+1

  =2cosπ3+cos2π3+cos3π3+…+cos2010π3+2010=2×335×cosπ3+cos2π3+cos3π3+cos4π3+cos5π3+cos6π3+2010=2010.

  5.已知角α终边经过点P(x,-2)(x≠0),且cosα=36x.求sinα+1tanα的值.

  [解析] ∵P(x,-2)(x≠0),

  ∴点P到原点的距离r=x2+2.

  又cosα=36x,∴cosα=xx2+2=36x.

  ∵x≠0,∴x=±10,∴r=23.

  当x=10时,P点坐标为(10,-2),

  由三角函数的定义,有sinα=-66,1tanα=-5,

  ∴sinα+1tanα=-66-5=-65+66;

  当x=-10时,同理可求得sinα+1tanα=65-66.

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