定积分的计算方法总结

时间：2022-07-12 13:57:14 总结我要投稿

定积分的计算方法总结

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定积分的计算方法总结

　　定积分

　　1、定积分解决的典型问题

　　（1）曲边梯形的面积

　　（2）变速直线运动的路程

　　2、函数可积的充分条件

　　定理设f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上可积，即连续=>可积。

　　定理设f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在区间[a，b]上可积。

　　3、定积分的若干重要性质

　　性质如果在区间[a，b]上f（x）≥0则∫abf（x）dx≥0。

　　推论如果在区间[a，b]上f（x）≤g（x）则∫abf（x）dx≤∫abg（x）dx。

　　推论|∫abf（x）dx|≤∫ab|f（x）|dx。

　　性质设M及m分别是函数f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m（b—a）≤∫abf（x）dx≤M（b—a），该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

　　性质（定积分中值定理）如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf（x）dx=f（ξ）（b—a）。

　　4、关于广义积分

　　设函数f（x）在区间[a，b]上除点c（a<c<b）外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf（x）dx与∫cbf（x）dx都收敛，则定义∫abf（x）dx=∫acf（x）dx+∫cbf（x）dx，否则（只要其中一个发散）就称广义积分∫abf（x）dx发散。

　　定积分的应用

　　1、求平面图形的面积（曲线围成的面积）

　　直角坐标系下（含参数与不含参数）

　　极坐标系下（r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ）（扇形面积公式S=R2θ/2）

　　旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f（x）]2dx，其中f（x）指曲线的方程）

　　平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx，其中A（x）为截面面积）

　　功、水压力、引力

　　函数的平均值（平均值y=1/（b—a）*∫abf（x）dx）

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