第13讲植树问题
内容概述
几何图形的设计与构造，本讲讲解一些有关的植树问题．
典型问题
1．今有10盆花要在平地上摆成5行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行．
【分析与解】 如下图所示：
2．今有9盆花要在平地上摆成10行，每行都通过3盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行．
【分析与解】如下图所示：
3．今有10盆花要在平地上摆成10行，每行都通过3盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行
【分析与解】如下图所示：
4．今有20盆花要在平地上摆成18行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行．
【分析与解】 如下图所示：
5．今有20盆花要在平地上摆成20行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行．
【分析与解】 如下图所示：
第14讲数字谜综合
内容概述
各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题．
典型问题
1．ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字．已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少?
【分析与解】 因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小．
A显然只能为1，则BCD+EFG=993，
当ABCD与EFG的积最大时，ABCD、EFG最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD最小为234，对应EFG为759，所以有1234×759是满足条件的最大乘积；
当ABCD与EFG的积最小时，ABCD、EFG差最大，则BCD尽可能大，EFG尽可能小，有EFG最小为234，对应BCD为759，所以有1759×234是满足条件的最小乘积；
它们的差为1234×759-1759×234=(1000+234)×759一(1000+759)×234=1000×（759-234)=525000．
2.有9个分数的和为1，它们的分子都是1．其中的5个是 , , , , 另外4个数的分母个位数字都是5．请写出这4个分数．
【分析与解】 l一( + + + + )= =
需要将1010拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3×3×7×1l的约数．因此，它们可能是3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693．
经试验得693+231+77+9=1010．
所以，其余的4个分数是： , , , .
3.
请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式．
【分析与解】 1988=2×2×7×7l=4×497， + ＝ ，在等式两边同时乘上 ，就得 + ＝ ．显然满足题意．
又 + = ，两边同乘以 ，就得 + ＝ ．显然也满足．
+ ＝ ， + ＝ 均满足.
4．小明按照下列算式： 乙组的数口甲组的数○1=
对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入表14-1的表中．有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正．问改正后的两个数的和是多少?
【分析与解】 甲组的前三个数0.625， ， 都是小于1的数，2 与这三个数运算后，得5.05，4 ，4 ；不论减1还是加l后，这三个数都比2 大，而这是2 与小于1的数运算的结果，因此可以猜想方框内是除号．
现在验算一下：
2 ÷0.625= × = =4.05；
2 ÷ = × =3 ；
2 ÷ = × = =3 ；
2 ÷3= .
从上面四个算式来看，圆圈内填加号，这样有三个结果是对的，而4 是错的．
按照算式
乙组的数÷甲组的数+1…………………………*
2÷3+1=1 ，显然不为1.5，上面已认定3是正确的，因此，只有把2改为1.5，才有1.5÷3+1=1 ，而1.5÷0.625+l=3.4，1.5÷ +1=3.25．
由此可见，确定的算式*是正确的．
表中有两个错误，4 应改为4 ，2应改为1.5，
4 +1 =5+ =6 ．
改正后的两个数的和是6 ．
5．图14-3中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形．现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个项点上．
(1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法：如果不能，请说明理由．
(2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由．
【分析与解】 (1)无论怎样填法，都不可以使八个三角形顶点上数字之和相等．
事实上，假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等，不妨设每个三角形顶点上数字之和为k．
在计算八个三角形顶点上数字之和时，大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次；中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次；小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次．
因此，这八个三角形顶点上数字之和的总和为：
8k=(1+2+3+4)+3×(1+2+3+4)+2×(1+2+3+4)，即8k=60,k不为整数，矛盾，所以假设是错误的．
(2)易知：不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之和最小为1 +1+2=4，最大为3+4+4＝11．
而4～11共8个数，于是有可能使得8个三角形顶点上数字之和各不相同，可如下构造，且填法不惟一．图(a)和图(b)是两种填法．
6．图14-5中有11条直线．请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等．求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数．
【分析与解】 表述1：设每行的和为S，在左下图中，除了a出现2次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有4S=(1+2+3+…+11)+a=66+a；
在右上图中除了a出现5次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有5S=(1+2+3+…11)+4a＝66+4a．
综合以上两式 ，
①×5-②×4得66-11a=0，所以a=6，则S=18．
考虑到含有*的五条线，有4*+(1+2+3+4+…+11)-t=5S=90．即4*-t=24，由t是1～11间的数且t≠*，可知*=7，而每行相等的和S为18.
表述2：如下图所示，在每个圆圈内标上字母，带有*的圆圈标为x，
首先考虑以下四条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(x、d、b)，(j、e、c)，除了标有a的圆圈外，其余每个圆圈都出现了一次，而标有a的圆圈出现了两次，设每条直线上数字之和为S，则有：
(1＋11)×11÷2+a=4S，即66+a=4S．
再考虑以下五条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(j、x、a)，(e、d、a)，(c、b、a)，同理我们可得到66+4a=5S．
综合两个等式 ，可得a为6，每条直线上和S为18．
最后考虑含x的五条直线：(x、h)，(x、g、f)，(j、x、a)，(x、d、b)，(i、x、c)．其中除了x出现了5次，e没有出现，其他数字均只出现了一次，于是可以得到：
66+4x－e=5S=90，即4x-e=24，由e是1-11间的数且e≠x可知x=7．
即每行相等的和S为18，*所填的数为7．
7．一个六位数，把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数，再将这个六位数的个位数字移到最前面又得到一个新的六位数，如此共进行5次所得的新数连同原来的六位数共6个数称为一组循环数．已知一个六位数所生成的一组循环数恰巧分别为此数的l倍，2倍，3倍，4倍，5倍，6倍，求这个六位数．
【分析与解】方法一： = ， = ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ 。
对应有142857，285714，428571，571428，714285，857142，它们依次是142857的1、2、3、4、5、6倍．
且只用了1、4、2、8、5、7这6个数字，满足题意．
所以这个六位数为142857．
方法二：首先可以确定最小的六位数的首位为1，不然2*****的6倍就不是六位数，于是不妨设这个六位数为 ，那么6个六位数中必定存在一个数为 .
而个位数字1，只能由1×1，3×7或9×9得到．但是 只能对应为 ×(2-6)，所以只能是 ×3得到．即 = ×3．
于是，我们不难递推出d为5，c为8，b为2，a为4，所以这个六位数为142857．
方法三：部分同方法二， = ×3．
那么有 ×10+l=(100000+ )×3，解得 =42857．
所以这个六位数为142857．
15讲计数综合1
内容概述
将关键的已知数据看作变量，得到一类结构相同的计数问题，通过建立这些问题的结果所构成数列的递推关系，逐步地求得原问题的答案．与分数、几何等相关联的计数综合题．
典型问题
1．一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分?
【分析与解】 一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分．
同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分．这两个长方形有公共部分(