多边形的内角和检测试题及解析

时间:2022-09-27 02:12:06 试题 我要投稿
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多边形的内角和检测试题及解析

  【例1】已知一个多边形,它的外角和等于内角和的四分之—,求这个多边形的边数.

多边形的内角和检测试题及解析

  【解析】本题根据多边形的内角和(与边数n有关)与外角和(恒为360°,与边数无关)的一种关系,利用己知条件列出关于n的一元一次方程,求解边数n.

  【答案】设多边形的边数为n,因为它的内角和等于(n-2)180°,外角和等于360°,根据题意,得(n-2)180=300.

  解得n=10.

  答:这个多边形的边数是10.

  【例2】己知一个多边形的各个内角都是120°,求这个多边形的边数.

  【解析】此题既可用多边形内角和公式列方程求解,也可以由多边形的外角和等于360°列方程求解.不论用什么方法求解,都要抓住问题的实质,列方程求解是解这类题的常用方法.

  【答案】解法一设这个多边形的边数为n,则有(n-2)180°=n150

  解得n=12

  解法二设这个多边形的边数为n,则有

  n(180-150)=360

  解得n=12

  【例3】凸多边形的每一个内角都小于180°,那么凸多边形中最多可以有几个钝角?几个锐角?几个直角呢?

  【解析】由于凸多边形的边数不确定,可以由边数较少的情形来探索,再归纳出一般性的结论.

  【答案】设凸多边形的边数为n,当n=3时,三角形最多只有一个钝角;当n=4时,因为四边形的内角和为360°,故不可能有四个钝角,但现在可以有3个钝角,当n≥5时,看正n边形,它的所有内角都相等,则所有的外角也都相等,由于n边形的外角和为360°,故每一个外角为,由于n≥5,<90°,即正n边形的每一个外角均为锐角.故n边形(n≥5)可有n个钝角.

  当n=3时,三角形最多有三个锐角(如锐角三角形);当n=4时,四边形不可能四个角都是锐角,否则内角和小于360°;当n≥5时,多边形不可能多于3个锐角,否则若有四个内角为锐角,则这四个锐角的外角为钝角,其外角和大于360°.故当n≥5时,多边形最多有三个内角是锐角.故凸多边形中锐角最多有三个.

  当n=3时,最多只有一个直角(直角三角形);

  当n=4时,最多有四个直角(矩形);当n≥5时,最多有三个直角,否则若有四个直角,则四个外角为直角,从而这个多边形的外角和大于360°.故凸多边形最多有四个直角.

  总分100分时间60分钟成绩评定________________

  一、填空题(每题5分,共50分)

  课前热身

  1.五边形的内角和等于________度;(3n-2)边形的内角和是________.

  答案:540;(3n-1)180°

  2.一个多边形的每一个外角都等于36°,则该多边形的内角和等于________.

  答案:1140°

  课上作业

  3.已知一个五边形的4个内角都是100°,则第5个内角的度数是________.

  答案:140°

  4.如果正多边形的一个外角等于72°,那么它的边数是________.

  答案:5

  5.若一个多边形的内角和是外角和的5倍,则这个多边形是___________.

  答案:十二边形

  6.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形,这个多边形的边数是_______.

  答案:12

  课下作业

  7.四边形的四个内角度数之比为4∶5∶6,则这个四边形各内角度数分别为_____________.

  答案:60°、80°、100°、120°

  8.一个多边形除了一个内角之外,其余各内角之和是2570°,则这个内角的度数等于______.

  答案:130°

  9.两个正多边形,其边数m、n满足,从这两个正多边形中各取一个内角,则这两个角的和是__________

  答案:270°

  10.一个多边形截去一个内角后,形成另一个多边形,它的内角为2520°,则原多边形的边数为_________.

  答案:15或16或17

  二、选择题(每题5分,共10分)

  模拟在线

  11.(2010云南)正多边形的一个外角的度数为36°,则这个正多边形的边数为()

  A.6B.8C.10D.12

  答案:D

  12.(2010江苏)多边形的内角和不可能为()

  A.180°B.680°C.1080°D.1980°

  答案:C

  13.(2010广西)小明和小亮分别利用图7-63中b、c的不同方法求出了五边形的内角和都是540°,请你考虑在图7-63a中再用另外一种方法求五边形的内角和,并写出求解的过程.

  图7-63

  答案:略

  14.如果一个正多边形的最小的一个内角是120°,比它稍大的一个内角是125°,以后依次每一个内角比前一个内角多5°,且所有内角的和最大的内角的度数之比是63∶8,试求这个多边形边数.

  答案:9(设此多边形是n边形,它的最大内角度数为120°+(n-1)5°,则有解得n=9,

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