生活中的变量关系教学教案
第二章 函数
2.1生活中的变量关系（学案）
[学习目标]
1、知识与技能
（1）通过实例，了解生活中的变量关系，体会变量与变量之间的相互关系；
（2）知道两变量之间有相互依赖关系不一定就有函数关系；
（3）了解两变量之间有函数关系具备的条件；
2、 过程与方法
（1）从实践生活中发现变量之间存在关系的过程，感知函数的意义.
（2）注意收集归纳生活中变量之间的关系.
3、情感.态度与价值观
培养善于观察发现的责任心，增强学习的积极性.
[学习重点]: 现实生活中的实例中的变量关系.
[学习难点]：对于两变量之间的函数关系的理解.
[学习教具]：实例图片
[学习方法]：提供信息材料，自主学习、思考、交流、讨论和概括.
[学习过程]
世界是变化的,许多变量之间有着相互依赖的关系，变量与变量的依赖关系在生活中随处可见,与我们息息相关.函数就描述了因变量随自变量而变化的依赖关系.
[互动过程1]：
回顾复习：初中我们学习过哪些函数？
你能说出函数描述了几个变量之间的关系？它们分别是什么变量？
因变量y与自变量x之间什么样的依赖关系？什么是函数吗？
由于函数的概念比较抽象，不好理解，教师可以提示：
因变量y随自变量x的变化而变化：即一个x的取值有唯一确定的值y与之对应则称y是x的函数.
函数的概念：
设在一个变化过程中有两个变量x与y, 如果对于x的每一个值, y都有唯一的值与它对应, 那么就说y是x的函数.x叫做自变量.
注意:并非有依赖关系的两个变量都有函数关系.
[互动过程2]：
下面我们在高速公路的情景下,看看你能发现哪些函数关系?
1．由挂图提供下面有关的数据,请同学们根据下列数据思考表中有几个变量?这些变量之
间有没有函数关系?
你能利用表中的数据画出图形，并观察它们之间的关系吗？.
这样就更清楚的表现出变量之间的依赖关系和变化关系了.
问题:里程与年份之间是否有函数关系?
从这里可以看出函数可以关系可以由 表示,也可以用 法,另外,还有 法.
[互动过程3]：
2．高速公路上我们还会联想到行驶的汽车,自然会想到时间与路程、速度的关系,还有什
么变量关系?
[互动过程4]：
问题:思考储油量 是否为d的函数? 储油量 是否
为截面半径r的函数呢?
【课堂练习】教材P.25 练习:
4．（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 看作时间 的函数，其图像可能是（ ）
5．（07江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中
酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确
的是（ ）
A．h2＞h1＞h4 B．h1＞h2＞h3 C．h3＞h2＞h4 D．h2＞h4＞h1
数列求和
数列的求和
目的：小结数列求和的常用方法，尤其是要求学生初步掌握用拆项法、裂项法和错位法求一些特殊的数列。
过程：
基本公式：
1.等差数列的前 项和公式：
2．等比数列的前n项和公式：
当 时， ① 或 ②
当q=1时，
一、特殊数列求和－－常用数列的前n项和及其应用：
例1 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且 ，
求数列{an}的前n项和
——由题和等差数列的前n项和公式先求通项公式an，再sn
例3 求和S =1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)．
——关键是处理好通项：n(n+1)(n+2)=n +3n +2n，
应用 特殊公式和分组求解的方法。
二、拆项法(分组求和法)：
例4求数列
的前n项和。
——拆成等比数 和列等差数列 {3n-2},应用公式求和，注意分a=1和 两类讨论.
三、裂项（相消）法：
例5求数列 前n项和
——关键是处理好通项（裂项）.设数列的通项为bn，则
例6求数列 前n项和
解：
四、错位法：
例7 求数列 前n项和
解： ①
两式相减：
五、作业：
1. 求数列 前n项和
2. 求数列 前n项和
3. 求和： (5050)
4. 求和：1×4 + 2×5 + 3×6 + ……+ n×(n + 1)
5. 求数列1，(1+a)，(1+a+a2)，……，(1+a+a2+……+an1)，……前n项和
对数函数
2.3.2 对数函数（三）
【学习目标】:
1．掌握对数函数的定义、图像和性质，会运用对数函数的知识解综合题；
2．了解复合形式的对数函数问题的解法。
【过程】：
一、复习引入：
1．回顾对数函数的定义、图像和性质：
2．函数 的图象必经过定点
3．函数 的定义域是为M， 的定义域是为N，那么
4．函数 的值域是
二、典例欣赏：
例1．判断函数 的奇偶性.
变题1：已知函数 ，若 ，则 _________。
变题2：已知函数 是奇函数，求实数 的值。
例2．判断函数 ( )的单调性.
变题1：求下列函数的单调区间：
（1） ； （2）
变题2：已知 在区间 上是增函数，求实数a的取值范围。
变题3：已知函数 .
（1）求证：函数 在 内单调递增；
（2）若关于 的方程 在 上有解，求实数 的取值范围.
变题4：已知函数 ，
（1）若定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若定义域为 ，求实数a的取值集合；
（3）若值域为R，求实数a的取值范围；
（4）若值域为 ，求实数a的取值集合．
【针对训练】 班级 姓名 学号
1．函数 过定点
2. 函数 的单调递增区间是
3．已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ，则 时， 的表达式
4. 已知 ，则
5．设 ，若函数 有最小值，则不等式 的解集为 。
6．已知 是 上的减函数，那么 的取值范围是
7.若函数 的定义域为R,求 的取值范围.
8．函数 在 上是增函数，求实数 的取值范围.
9．已知函数 满足：对任意实数 ，当 时，总有 ，求实数a的取值范围。
10.设 ，且x+2y=1，求函数 的值域.
11.已知函数 .
① 求 的定义域；② 讨论 的单调性.
【拓展提高】
12. 已知函数
（1）若函数的定义域为 ，求实数 的取值范围，
（2）若函数的值域为 ，求实数 的取值范围。
实际问题的函数刻画
第四章2.1
课题：实际问题的函数刻画
【目标要求】
〖学习目标
1、知道什么叫数学模型，知道数学建模的意义。
2、会用函数刻画现实世界中变量间的依赖关系。
3、知道函数的一些模型。如正反比列函数、一次函数。
〖学习重点、难点
用函数观点刻画实际问题。（重点）
准确理解题意，理解变量间的关系。（难点）
【过程方法】
〖预习提要
一、问题1 当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，表4-2给出了实验的一组数据，这组数据能说明什么？
环境温度／(℃) 4 10 20 30 38
代谢率/[4185J/(h .m2)] 60 44 40 40.5 54
（⒈）在这个实际问题中出现了几个变量？它们之间能确定函数关系吗？为什么？
（2）、结合图4-5分析代谢率在什么范围下降，什么范围上升？
（3）温度在什么范围内代谢率变化较小比较稳定，什么范围代谢率变化较大？
二、问题2某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去了200000元，生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元，产量z对总成本C、单位成本P、销售收入R以及利润L之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际含义？
（1）总成本C与产量x的关系是什么？
（2）单位成本P与产量x的关系是什么？
（3）销售收入R与产量x的关系是什么？
（4）利润L与产量x的关系是什么？
（5）利润关系式是什么函数？当x取何值时亏损、盈利？
〖预习反馈
〖精讲释疑
问题三、问题3如图4-7，在一条弯曲的河道上，设置了6个水文监测站，现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通信电缆，怎样刻画专用通信电缆的总长度？
〖检测拓展
类型一：数学模型为正比列、反比列函数的问题
1、一个圆柱形容器的底面直径为dcm,高度为hcm，现以每秒S 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液高度y与时间t（秒）的函数关系式及定义域。
2、有m部同样的机器一起工作，需要m小时完成一项任务。
（1）设由x部机器（x为不大于m的正整数）完成同一任务，求所需时间y（小时）与机器的部数x的函数关系式。
（2）画出所求函数当m=4时的图像。
类型二：数学模型为一次函数
2、某家报刊销售店从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社。在一个月（30天）里，有20天每天都可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同，则应该每天从报社买进多少份才能使每月所获利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚的多少元？
4、某人开汽车以60 的速度从A地到150km远处的B处，在B地停留1h后，再以50 的速度返回A地。把汽车离开A地的'距离x（km）表示为时间t(h)（从A地出发开始）的函数，并画出函数的图像；再把车速v（ ）表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图像。
〖归纳整理
【学/教后感】
函数概念
泗县三中教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
函数概念2
授课时间
撰写人
撰写时间2011年8月21日
学习重点
求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；
学习难点
求函数的定义域与值域及对函数的定义域或值域书写形式
学习目标
1.会求一些简单函数的定义域值域
2.对函数概念的进一步理解
3.会对函数的定义域或值域正确书写
过程
一自主学习
复习
1.函数的概念：
2．函数的三要素是、、. 3.函数 与y＝3x是不是同一个函数？为何？ 4.求函数定义域的规则
练一练
求下列函数的定义域（用区间表示）. （1） ；
（2） ；
（3）
二师生互动
例1求下列函数的值域（用区间表示）： （1）y＝x －3x＋4；（2） ； （3）y＝ ；（4） .
变式：求函数 的值域及定义域。
小结： 求函数值域的常用方法有：
观察法、配方法、拆分法、基本函数法.
练一练
求下列函数的定义域及值域
（1） （2） （3） 例2对函数 ，以下说法中正确的是
（1） 是 的函数；（2）对于不同的 ， 的值也不同；（3） 表示当x=a时函数 的值，是一个常量；（4） 一定可以用一个具体式子表示出来；（5）当 和 确定后， 的值也就确定了。
三巩固练习
1.函数 的定义域是（）. A. B. C.RD. 2.函数 的值域是（）. A. B. C. D.R 3.下列各组函数 的图象相同的是（）
A.
B.
C.
D. 4.函数f(x)= + 的定义域用区间表示是. 5.已知 ， 则 的值 6.函数 对任意实数 满足条件 ，若 ，则
四课后反思
五课后巩固练习
1.设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积y关于x的函数的解析式，并写出定义域.
2．(2009江西)函数 的定义域
3.（2007北京)已知函数 ， 分别由下表给出
则 的值为 ；当 时， ．
集合的概念及其表示
第一课时 集合(一)
目标：
使学生掌握集合的概念和性质，集合的元素特征，有关数的集合；培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力；培养学生认识事物的能力，引导学生爱班、爱校、爱国.
重点：
集合的概念，集合元素的三个特征.
教学难点：
集合元素的三个特征，数集与数集关系.
教学方法：
尝试指导法
学生依集合概念的要求、集合元素的特征，在教师指导下，能自己举出符合要求的实例，加深对概念的理解、特征的掌握.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
师生共同回顾初中代数中涉及“集合”的提法.
［师］同学们回忆一下，在初中代数第六章不等式的解法一节中提到：
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.
不等式解集的定义中涉及到“集合”.
Ⅱ.讲授新课
下面我们再看一组实例
幻灯片：
观察下列实例
(1)数组 1，3，5，7.
(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点.
(3)满足 3x－2＞x＋3 的全体实数.
(4)所有直角三角形.
(5)高一(3)班全体男同学.
(6)所有绝对值等于6的数的集合.
(7)所有绝对值小于3的整数的集合.
(8)中国足球男队的队员.
(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.
(10)参与中国加入WTO谈判的中方成员.
通过以上实例.教师指出：
1.定义
一般地，某些指定对象集在一起就成为一个集合(集).
师进一步指出：
集合中每个对象叫做这个集合的元素.
［师］上述各例中集合的元素是什么?
［生］例(1)的元素为1，3，5，7.
例(2)的元素为到两定点距离的和等于两定点间距离的点.
例(3)的元素为满足不等式3x－2＞x＋3的实数x.
例(4)的元素为所有直角三角形.
例(5)为高一(3)班全体男同学.
例(6)的元素为－6，6.
例(7)的元素为－2，－1，0，1，2.
例(8)的元素为中国足球男队的队员.
例(9)的元素为参加2008年奥运会的中国代表团成员.
例(10)的元素为参与WTO谈判的中方成员.
［师］请同学们另外举出三个例子，并指出其元素.
［生］(1)高一年级所有女同学.
(2)学校学生会所有成员.
(3)我国公民基本道德规范.
其中例(1)的元素为高一年级所有女同学.
例(2)的元素为学生会所有成员.
例(3)的元素为爱国守法、明礼诚信、团结友爱、勤俭自强、敬业奉献.
［师］一般地来讲，用大括号表示集合.
师生共同完成上述例题集合的表示.
如：例(1){1，3，5，7}；
例(2){到两定点距离的和等于两定点间距离的点}；
例(3){3x－2＞x＋3的解}；
例(4){直角三角形}；
例(5){高一(3)班全体男同学}；
例(6){－6，6}；
例(7){－2，－1，0，1，2}；
例(8){中国足球男队队员}；
例(9){参加2008年奥运会的中国代表团成员}；
例(10){参与WTO谈判的中方成员}.
2.集合元素的三个特征
幻灯片：
问题及解释
(1)A＝{1，3}，问3，5哪个是a的元素?
(2)A＝{所有素质好的人}能否表示为集合?
(3)A＝{2，2，4}表示是否准确?
(4)A＝{太平洋，大西洋}，B＝{大西洋，太平洋}是否表示为同一集合?
生在师的指导下回答问题：
例(1)3是集合A的元素，5不是集合A的元素.例(2)由于素质好的人标准不可量化，故A不能表示为集合.例(3)的表示不准确，应表示为A＝{2，4}.例(4)的A与B表示同一集合，因其元素相同.
由此从所给问题可知，集合元素具有以下三个特征：
(1)确定性
集合中的元素必须是确定的，也就是说，对于一个给定的集合，其元素的意义是明确的.
如上例(1)、例(2)、再如
{参加学校运动会的年龄较小的人}也不能表示为一个集合.
(2)互异性
集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
如上例(3)，再如
A＝{1，1，1，2，4，6}应表示为A＝{1，2，4，6}.
(3)无序性
集合中的元素是无先后顺序，也就是说，对于一个给定集合，它的任何两个元素都是可以交换的.
如上例(1)
［师］元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于 ”（ 也可表示为 ）两种.
如 A＝{2，4，8，16} 4∈ A 8∈A 32 A
请同学们考虑：
A＝{2，4}，B＝{{1，2}，{2，3}，{2，4}，{3，5}}，
A与B的关系如何？
虽然A本身是一个集合.
但相对B来讲，A是B的一个元素.
故A∈B.
幻灯片：
3.常见数集的专用符号
N：非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合)
N*或N＋：正整数集（非负整数集N内排除0的集合）
Ｚ：整数集（全体整数的集合）
Q：有理数集（全体有理数的集合）
R：实数集（全体实数的集合）
［师］请同学们熟记上述符号及其意义.
Ⅲ.课堂练习
1.(口答)说出下面集合中的元素.
(1){大于3小于11的偶数} 其元素为 4，6，8，10
(2){平方等于1的数} 其元素为－1，1
(3){15的正约数} 其元素为1，3，5，15
2.用符号∈或∈填空
1∈N 0∈N －3∈N 0.5∈N 2 ∈N
1∈Z 0∈Z －3∈Z 0.5∈Ｚ 2 ∈Ｚ
1∈Q 0∈Q －3∈Q 0.5∈Q 2 ∈Q
1∈R 0∈R －3∈R 0.5∈R 2 ∈R
3.判断正误：
(1)所有在N中的元素都在N*中( × )
(2)所有在N中的元素都在Z中( √ )
(3)所有不在N*中的数都不在Z中( × )
(4)所有不在Q中的实数都在R中( √ )
(5)由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0( × )
(6)不在N中的数不能使方程4x＝8成立( √ )
Ⅳ.课时小结
集合的表示方法
j.Co M 数学必修1：集合的表示方法
目标：掌握集合的 表示方法，能选择自 然语言、图形语言、集合语言描述不 同的问题.
重点、难点：用列举法、描述法表示一个集合.
教学过程：
一、复习引入：
1．回忆集合的概念
2．集合中元素有那些性质？
3．空集、有限集和无 限集的概念
二、讲述新课：
集合的表示方法
1、大写的字母表示集合
2、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法.
例如，24所有正约数构成的 集合可以表示为{1，2，3，4 ，6，8，12，24}
注：（1）大括号不能缺失.
(2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3，…，100}
自然数集N：{1，2，3，4，…,n,…}
（3）区分a与{a} ：{a}表示一个集合，该集合只有一个元素.a表示这个集合的一个元素.
（4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后 次序.相同的元素不能出现两次.
3、特征性质描述法：
在 集合I中，属于集合A的任意元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质，于是集合A可以表示如下：
{x∈Ip(x)}
例如，不等式 的解集可以表示为： 或 ，
所有直角三角形的集合可以表示为： 注：（1）在不致混淆的情况下，也可以写成：{直角三角形}；{大于104的实数}
（2）注意区别：实数集，{实数集}.
4、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一 个集合.
例1：集合 与集合 是同一个集合 吗？
答：不是.
集合 是点集，集合 = 是数集。
例2：（教材第7页例1）
例3：（教材第7页例2）
课堂练习：
（1）教材第8页练习A、B
（2）习题1-1A： 1，
小结：
本节课学习了集合的表示方法（字母表示、列举法、描述法、文氏图共4种）
课后作业: 1，2
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