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复数复习教案

时间:2022-06-02 09:23:52

复数复习教案

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  1.理解复数的基本概念、复数相等的充要条件.

  2.了解复数的代数表示法及其几何意义.

  3.会进行复数代数形式的四则运算.了解复数的代数形式的加、减运算及其运算的几何意义.

  4.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想,体会理性思维在数系扩充中的作用. 本章重点:1.复数的有关概念;2.复数代数形式的四则运算.

  本章难点:运用复数的有关概念解题. 近几年高考对复数的考查无论是试题的难度,还是试题在试卷中所占 比例都是呈下降趋势,常以选择题、填空题形式出现,多为容易题.在复习过程中,应将复数的概念及运算放在首位.

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  15.1 复数的概念及其运算

  典例精析

  题型一 复数的概念

  【例1】 (1)如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m= ;

  (2)在复平面内,复数1+ii对应的点位于第 象限;

  (3)复数z=3i+1的共轭复数为z= .

  【解 析】 (1)(m2+i)(1+mi)=m2-m+(1+m3)i是实数1+m3=0m=-1.

  (2)因为1+ii=i(1+i)i2=1-i,所以在复平面内对 应的点为(1,-1),位于第四象限.

  (3)因为z=1+3i,所以z=1-3i.

  【点拨】 运算此类 题目需注意复数的代数形式z=a+bi(a,bR),并注意复数分为实数、虚数、纯虚数,复数的几何意义,共轭复数等概念.

  【变式训练1】(1)如果z=1-ai1+ai为纯虚数,则实数a等于()

  A.0 B.-1 C.1 D.-1或1

  (2)在复平面内,复数z=1-ii(i是虚数单位)对应的点位于()

  A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

  【解析】(1)设z=xi,x0,则

  xi=1-ai1+ai1+ax-(a+x)i=0 或 故选D.

  (2)z=1-ii=(1-i)(-i)=-1-i,该复数对应的点位于第三象限.故选C.

  题型二 复数的相等

  【例2】(1)已知复数z0=3+2i,复数z满足zz0=3z+z0,则复数z= ;

  (2)已知m1+i=1-ni, 其中m,n是实数,i是虚数单位,则m+ni= ;

  (3)已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根,则这个实根为 ,实数k的值为.

  【解析】(1)设z=x+yi(x,yR),又z0=3+2i,

  代入zz0=3z+z0得(x+yi)(3+2i)=3(x+yi)+3+2i,

  整理得 (2y+3)+(2-2x)i=0,

  则由复数相等的条件得

  解得 所以z=1- .

  (2)由已知得m=(1-ni)(1+i)=(1+n)+(1-n)i.

  则由复数相等的条件得

  所以m+ni=2+i.

  (3)设x=x0是方程的实根, 代入方程并整理得

  由复数相等的充要条件得

  解得 或

  所以方程的实根为x=2或x= -2,

  相应的k值为k=-22或k=22.

  【点拨】复数相等须先化为z=a+bi(a,bR)的形式,再由相等 得实部与实部相等、虚部与虚部相等.

  【变式训练2】(1)设i是虚数单位,若1+2i1+i=a+bi(a,bR),则a+b的值是()

  A.-12 B.-2 C.2 D.12

  (2)若(a-2i)i=b+i,其中a,bR,i为虚数单位,则a+b=.

  【解析】(1)C.1+2i1+i=(1+2i)(1-i)(1+i)(1-i)= 3+i2,于是a+b=32+12=2.

  (2)3.2+ai=b+ia=1,b= 2.

  题 型三 复数的运算

  【例3】 (1)若复数z=-12+32i, 则1+z+z2+z3++z2 008= ;

  (2)设复数z满足z+|z|=2+i,那么z= .

  【解析】 (1)由已知得z2=-12-32i,z3=1,z4=-12+32i =z.

  所以zn具有周期性,在一个周期内的和为0,且周期为3.

  所以1+z+z2+z3++z2 008

  =1+z+(z2+z3+z4)++(z2 006+z2 007+z2 008)

  =1+z=12+32i.

  (2)设z=x+yi(x,yR),则x+yi+x2+y2=2+i,

  所以 解得 所以z= +i.

  【点拨】 解(1)时要注意x3=1(x-1)(x2+x+1)=0的三个根为1,,-,

  其中=-12+32i,-=-12-32i, 则

  1++2=0, 1+-+-2=0 ,3=1,-3=1,-=1,2=-,-2=.

  解(2)时要注意|z|R,所以须令z=x +yi.

  【变式训练3】(1)复数11+i+i2等于()

  A.1+i2 B.1-i2 C.-12 D.12

  (2)(2010江西鹰潭)已知复数z=23-i1+23i+(21-i)2 010,则复数z等于()

  A.0 B.2 C.-2i D.2i

  【解析】(1 )D.计算容易有11+i+i2=12.

  (2)A.

  总结提高

  复数的代数运算是重点,是每年必考内容之一,复数代数形式的运算:①加减法按合并同类项法则进行;②乘法展开、除法须分母实数化.因此,一些复数问题只需设z=a+bi(a,bR)代入原式后,就 可以将复数问题化归为实数问题来解决.

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