目 录
一、 全等变换及其性质 1
（一） 全等变换的概念 1
（二） 全等变换的性质 1
二、 全等变换的基本分类 1
（一） 平移 1
1. 平移的概念 1
2. 平移的性质 2
3. 关于平移的问题 2
（二） 旋转 4
1. 旋转的概念 4
2. 旋转的性质 5
3. 关于旋转的问题 5
（三） 对称 7
1. 对称的概念 7
2. 对称的性质 7
3. 关于对称的问题 8
三、 平移、旋转和对称之间的关系 14
参考文献 16
全等变换及其性质
全等变换的概念
在《小学数学研究》一书中给出了全等变换的概念，即：一般的，如果在欧氏平面上定义的变换T，使得任意两点A，B和它们的象A'B'，总有AB=A'B'，则称T是全等变换，也称保距变换，或者合同变换。这种图形运动也叫图形的刚体运动，即刚体运动所生成的变换是全等变换。[ 张奠宇，孔凡哲，黄建弘，黄荣良，唐采斌，等。小学数学研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,第180页。]
而在《几何课程研究》一书中，则给出了更为简洁的定义，即：一个平面上得到其自身的变换f，如果对于平面上任意两点A,B,其距离ρ（A,B）总等于它们的对应点A'，B'间的距离ρ（A'，B'），那么f叫做平面上的全等变换。[ 王家铧，沈文选。几何课程研究[M]。北京：科学出版社，2006,第140页。]
全等变换的性质
全等变换是一一变换；
平面上所有全等变换的集合构成一个全等变换群；
两直线的夹角不变；三角形的面积不变；平面图形的面积不变；直线上A、B、C三点的简比AC/BC不变；
共线点变为共线点，且保持顺序关系不变；
直线变为直线、线段变为线段、射线变为射线，半平面变为半平面；
两直线的平行性、正交性不变。[ 王家铧，沈文选。几何课程研究[M]。北京：科学出版社，2006,第141页.]
全等变换的基本分类
平移
平移的概念
平移，也叫平移变换，是指平面到其自身的一种变换，它将平面上的任意一点P变换到P'，满足：
（1）射线PP'有给定的方向；
（2）线段PP'有给定的长度。
其中，点P与P'就是一对对应点。也就是说，这里的一组对应点P与P'组成的线段PP'平行于给定的射线，而且，线段PP'的长度等于定长。事实上，一个图形F经过了一次平移f而等到另一个图形F'，意味着将图形F上的所有点，按照同一方向都移动了同样的距离。[ 张奠宇，孔凡哲，黄建弘，黄荣良，唐采斌，等。小学数学研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,第180页。]
平移的性质
（1）平移变换是第一类全等变换。因此，平移变换具有全等变换的一切性质。
（2）在平移变换下，直线变成与它平行（或重合）的直线；线段AB变为线段A'B'，且AB=A'B'。[ 王家铧，沈文选。几何课程研究[M]。北京：科学出版社，2006,第142页。]
关于平移的问题
图1
图1是出自人教版小学数学二年级下册的内容。由图1可以看出，在我们平常的生活中，存在着许多平移现象，只不过学生们都没有仔细地观察过。该图在引导学生注意观察生活的基础上，又开拓了学生的思路，让学生不单单要观察，并且要记住，哪些现象是平移，并且可以举出一些生活中平移的实例，例如人在行走过程中，上身就是在平移，又或者火车行驶在铁轨上，也是一种平移。
图2
图3
图2图3都是出自人教版小学数学二年级下册。在图3中，形象的给出了一个鸭子的造型，首先引起了学生的兴趣，让学生有兴趣继续读完下面题目的要求，此题要求学生做平移之后的图，更多的是要同学自己动手动脑，在自己对平移的理解的基础上解决问题。问题相对来说浅显易懂，意在让学生能够形象的理解平移。如果理解上出现了什么偏差，在做题的过程中也可以表现出来，并且及时纠正。而在图4中变换了一下提问的角度，前面的问题都是先给出原图，然后提出平移要求，让学生画出最后所求的图。而在此题中，两幅图均给出，需要学生说出具体平移的步骤。这两道题考察的学生学习的全面性。学习平移，首先要理解平移的含义，其次明白原图、平移要求和所得图之间的关系，只有了解了这三者及他们之间的关系，才能读懂做对图3图4中的问题，此时，学生也就对平移有了一个大致的了解了。
图4
图4是关于平行四边形面积的求法。在此内容中，用到了平移的知识。因为学生学过矩形面积如何去算，可是不会算平行四边形的面积。所以，将平行四边形左半部分延高h剪下一个小三角形，再将小三角形平移到平行四边形的右侧，结果发现正好可以与剩余的部分组成一个矩形。矩形的长是平行四边形的底，矩形的宽是平行四边形的高（如图3所示）。于是得出平行四边形的面积公式S=ah。
旋转
旋转的概念
旋转，也叫做旋转变换，是指平面到其自身的一种变换，它将平面上的任意一点A变换到点A'，满足：
点A、A'到定点O的距离OA、OA'相等；
∠AOA'等于定角α。
其中，定点O叫做旋转中心，定角α叫做旋转角。[ 张奠宇，孔凡哲，黄建弘，黄荣良，唐采斌，等。小学数学研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,第181页。]
旋转的性质
（1）旋转变换是第一类全等变换。因此，旋转具有全等变换的一切性质。
（2）当旋转角φ≠180°时，直线（线段）与其对应直线（线段）的交角等于φ。[ 王家铧，沈文选。几何课程研究[M]。北京：科学出版社，2006,第143页.]
关于旋转的问题
图5
图5出自于人教版小学数学二年级下册。在旋转的内容上，教材没有安排过多的内容。只是列举了一些生活的实例，引导学生去观察，并且培养学生的观察和推导能力。先用具体的图代替文字解释什么叫旋转，然后让同学们去联想，生活中还有哪些事件是旋转，加深学生对旋转的理解。
图6
图6出自人教版小学数学二年级下册。关于旋转部分的练习不是很多，主要是让学生了解什么是旋转，观察生活中旋转的实例，并且通过观察积累经验，解答问题。例如，家里的电风扇，在工作的时候几片扇叶就是在旋转，又例如，钟表在工作的时候，三个指针也是在旋转，并且在一年级下学期的时候，学生就已经初步的认识了钟表。
图7
图7出自于百度文库。该题是要求三角形面积公式。我们先根据题目给的三角形，做一个一模一样的，然后将其中一个三角形以一个顶点作为旋转中心旋转180°，接着将两个三角形拼在一起，形成了一个平行四边形。平行四边形的底是三角形的底，平行四边形的高是三角形的高。平行四边形的面积我们在上文中已经利用平移解决了，即S=ah，所以在这里我们可以直接使用，最后得出三角形的面积S= ah。
α
图8
如图8，学生玩活动角，准备两个纸条，长短不限，把它们重叠并且捏住它们的一端，将其中一个纸条的另一端往别的方向拉，把它张开形成一个角。[ 李一帆，角的认识[N]，新课程小学北京：科学出版社，2010-7-8,96.]这个活动让角动态化了，可以让学生更直观地看到角是如何形成的，而不是单纯的一个顶点两条边，帮助学生更好地理解角，并在今后的练习中避免了一些错误。
对称
对称的概念
对称是指图形或物体对某一点、某条直线或某个平面的反射运动，在形状、大小、长短和排列等方面都相等或相当，具有一一对应的关系。轴对称和中心对称都是对称变换。
（1）轴对称的概念
两个图形具有一一变换的关系，如果以每对对应点为端点的线段都和同一条直线垂直且被平分，那么称这种变换为轴对称（或直线反射），每对对应点互称对称点，垂直平分对称点所连线段的直线叫做对称轴。
（2）中心对称的概念
中心对称实际上是一种特殊的对称，它既与旋转有关，也与点的轴对称有关。
如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与另一个图形完全重合，那么，我们就说，这两个图形构成中心对称。
特别地，如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，那么，我们就说，这个图形成中心对称图形。[ 张奠宇，孔凡哲，黄建弘，黄荣良，唐采斌，等。小学数学研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,第189-191页。]
对称的性质
在对称的定义中，对称的性质已经基本上全部给出。只有中心对称还具有一些特殊的性质：
在中心对称变换下：
过对称中心的直线是不变直线。
对应点连线过对称中心且被它平分；对应线段相等且反向平行或共线。
不过对应中心的直线与其对应的直线平行；反之，若两直线平行，则他们是某个中心对称变换下的两条对应直线。[ 王家铧，沈文选。几何课程研究[M]。北京：科学出版社，2006,第143页.]
关于对称的问题
图9
图10
图9和图10出自于人教版小学数学五年级下册。作为例题，图9和图10都非常有代表性。首先，图9没有立即解释对称，而是让学生观察生活中常见的几幅图，通过直观的印象告诉同学，这种现象就是对称。然后运用了折纸和剪纸这两种学生较喜欢而且可以带动学生学习积极性的活动，带领学生进一步认识对称，并且认识一个新概念：对称轴。图10中水中的倒影、镜中的影像，都非常贴近生活，可以让学生课下自己去观察对称，切身体会对称带给生活的美。
图11
图11出自人教版小学数学五年级下册。该题和图10相对应，是图10中例题的练习题，都是以镜面作为对称的工具。镜子是日常生活中非常常见的物品之一，学生大可以在回家以后自己亲身体验镜子对称的奥妙。像右图中那个小女孩儿，她明明是左手拿本右手拿笔的，可是在镜子里她就变成了左手拿笔右手拿本，这是为什么呢。引起了学生的好奇心，引导学生切身体验，通过观察自己积累经验解决问题，并加深印象。
图12
图12出自人教版小学数学五年级下册。这道练习题提问的角度和别的题目不大一样，给出的不是一整幅图，然后让学生做对称，而是给出一半的图，让学生填完另一半。在做题的过程中，自然而然的让学生了解了更多的对称图形，同时向学生渗透一种对称美的观点。
图13
图13两幅图出自百度文库。
学生学习对称，学习对称轴，自然而然就会想到一些轴对称的图形。这里列举了三个较典型且非常常见的轴对称图形，长方形、正方形和圆形。给学生看这三个图形，让他们判断这三个图形是否是轴对称图形，如果是，有没有对称轴。可以帮助学生更好的认识图形。
图14
图14出自百度文库。该题是求梯形的面积公式。由图可知，梯形面积公式的推导方法和三角形面积公式的推导方法非常相近。都是先画出来一个和题目给出的梯形一模一样的梯形，然后将其中一个梯形以上底为对称轴做轴对称，之后将两个梯形拼在一起，形成了一个平行四边形。平行四边形的底就是梯形的上底加下底，平行四边形的高就是梯形的高。由平行四边形面积公式S=ah可知，梯形面积公式为S= (a+b)h。
图15
图15是大家很常见的折纸图，在很常见，学生也很感兴趣的折纸活动中，我们也可以看到对称的身影。 通过折纸活动，分析留在纸张上的折痕，我们能够揭示出大量几何的对象和性质：轴对称、中心对称、全等、相似性、比例及类似于几何分形结构的迭代（在图案内不断地重复图案）等几何性质。这些鲜活的、可视的过程，给学生提供了弥补思维过程中的断缺部分，更能符合学生的认知习惯。
平面几何中的轴对称与中心对称概念，不仅在日常生活中应用广泛，同时，也是几何学的重要内容。简单邮路问题就是应用这类内容的典型案例。下面就是简单邮路问题的教学设计的一个典型案例。[ 本部分参考：上海市金汇学校课题组。简单邮路问题与对称教学[J]，数学教学，1999，（2）：31,4.]
（1）提出问题
邮递员从邮局出发，要把信件送到8个地方，再回到原地，请为邮递员设计送信的线路，在完成任务的前提下使得路程尽可能短。即如图16所示， △ ● ●
有3×3=9（个）整齐排列的点，其中左上角带△的点表示邮局， ● ● ●
请用线段把这些点连接起来，并且线段不重复。 ● ● ●
解决问题； 图16
发给学生每人16个如图16所示的图形。
先由学生根据要求，独立画出线路图；
通过组内交流去掉重复的线路图；
选取其中一个小组的所有设计方案，将其张贴在黑板上。
要求学生：
一方面，去掉不合理的线路图，即去掉从邮局出发而最后没法回到邮局的情况，以及8个送信地点中有遗漏或重复的情况。
另一方面，挑选其中的最优设计方案。那么，怎么样的设计方案才是符合问题要求的最优方案呢？回答是“线路不重复，而且距离必须最短”。
图16中9点之间的连线有直线段和斜线段两种，每种设计方案最后的送信距离，我们都可以用“m条直线段+n条斜线段”来表示。于是，引导学生计算每一个方案中的直线段和斜线段的数目，比如有：
直线段（m）：8 7 8
斜线段（n）：1 2 2
要是距离最短，必须满足什么条件呢？
由于连接9个点，至少要有9条线段，而且斜线短长与直线段，所以，尽可能使斜线段的数目最少。因为连接9点得9条线段中，必须有一条是斜线段。因此，满足最短距离的设计方案其直线段是8条，斜线段是1条。
小组交流；
在得到什么是最优设计方案的基础上，要求其他小组的学生，根据判断标准，补充符合要求的不同的最优设计方案。
归纳总结
将实际问题转化为数学问题，把设计方案抽象为几何图形。
通过对图形的观察、比较，发现其中的关系和规律。比如：
一个图形可以通过另一个图形的旋转而得到。
一个图形可以通过另一个图形的翻转（即轴对称）而得到。
一个图形可以通过另一个图形的翻转（即轴对称）再旋转得到。
通过分类，总结归纳出所有可能的图形。比如：
按斜线的缺口方向可分成四类，每个方向有两个图形，所以，一共有8个图形。
将其中一个图形按顺时针方向各旋转90°，得到四个图形；将其中的一个图形翻转，再按顺时针方向各旋转90°，又可得到四个图形。即：
a b c d
▼ ● ● 旋转 ▼ ● ● ▼ ● ● ▼ ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
翻转
▼ ● ● 旋转▼ ● ● ▼ ● ● ▼ ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
e f g h
图17
其中：a与e，c与g，d与f是上下对称关系，a与g，b与f，c与e，d与h是左右对称关系，而任意一个图形，都可以通过另一个图形的旋转和对称而得到（图17）。
由图形再回到实际问题。
由③的讨论，我们得到，符合条件的最优设计方案的图形共有8种，考虑到实际问题，对每种图形，邮递员可有顺时针和逆时针两种行走方，所以，原问题的最优线路有16种。[ 张奠宇，孔凡哲，黄建弘，黄荣良，唐采斌，等。小学数学研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,185-186.]
平移、旋转和对称之间的关系
对同一个图形连续进行两次轴对称，如果两个对称轴互相平行，那么，这两次轴对称的结果等同于一次平移；
对同一个图形连续进行两次轴对称，如果两个对称轴相交，那么，这两次轴对称的结果等同于一次旋转，旋转中心就是两条对称轴的交点。
反过来，对一个图形实施一次平移，都可以通过连续的两次轴对称来替代完成；对一个图形实施一次旋转，可以通过连续的两次轴对称来完成。
小学几何变换的数学问题需要具象的、直观的操作，让学生亲自经历直观操作，是小学生几何学习所必需的。小学生的数学学习立足在生活经验基础之上，这些生活化、零散的经验和常识，为开展直观的几何学习奠定了必要的基础。
与此同时，小学几何变换的课程教学仅限于在方格纸上进行，也就是沿着平行、垂直于方格纸的两个格的边缘线进行，不涉及直接按斜线方向运动的情形。
参考文献
[1]张奠宇，孔凡哲，黄建弘，黄荣良，唐采斌，等。小学数学研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,178-202.
[2]王家铧，沈文选。几何课程研究[M]。北京：科学出版社，2006,142-147.
[3]李一帆，角的认识[N]，新课程小学，2010-7-8,96.
[4]袁康荣，板块设计，以点带画--“角的认识”第一课时教学设计[J]，小学时代（教师），2010-2.
[5]卞恩鸿，射线、直线和角的认识[J]，新课程（小学版），2010-6.
[6]林静，浅谈几何变换在初中平面几何教学的探究[J]，福建论坛（社科教育版）2010-4.
[7]胡军，以不同图形为背景的旋转变换[J]，初中数学教与学，2011年第5期.
[8]陈绍华，运用几何变换巧解题[J]，数学学习与研究：教研版，2010年18期.
[9]吴复，用旋转变换解题[J]，数学大世界：初中生数学辅导，2010年4期.
[10]邬佩芬，几何变换在数学解题中的作用[J]，宁波教育学院学报北京，2003年1期.
[11]上海市金汇学校课题组。简单邮路问题与对称教学[J]，数学教学，1999，（2）：31,4.