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一种新花样躲2倍的小学生数学故事

故事 时间:2018-08-20 我要投稿
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  小明和小亮两个人玩扑克牌,又发明一种新花样,叫做二倍二倍快躲开。

  从一副扑克牌里,每人各拿出12张:A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q各一张,小明全拿黑桃,小亮全拿红桃。A算1点,J算 11点,Q算12点。这样,每人就都拥有一套从1点到12点的牌,拿红牌的是红方,拿黑牌的是黑方。

  玩的时候,每人把自己的12张牌打乱顺序,背朝上,排在自己面前。两个人轮流翻牌。如果自己翻出的牌里,任何两张的点数都没有二倍关系,就是成功的,可以继续翻牌,也可以停止翻牌,做成一组成功的牌。谁翻的牌里最先出现二倍关系,谁就输掉了这一盘。

  例如,在两人都翻开4张后,战局如图1。

  这时小亮的牌里,10是5的二倍,小亮输了。

  如果两个人各自做成一组成功的牌,就比谁的点数大,点数大的人胜利。如果点数相等,就成为平局。

  又如,有一次,两人都翻开3张以后,得到图2所示的战局。

  这时小明停止翻牌,做成了一组,点数是

  9+8+10=27。

  小亮赶紧也算一算自己的点数:

  8+10+7=25。

  如果小亮也停止翻牌,就比小明少2点,输定了。若是再翻一张牌呢,如果翻到4,那么在翻出的牌里,8是4的二倍,就输了;如果翻到5,那么10 是5的二倍,也输了。但是翻到其他牌都会增加分数,可能超过对手。

  有成功的机会,就该试一试。于是小亮再翻一张牌,结果翻到的是3,成功!点数增加为

  25+3=28,超过小明的27,赢了这一盘。

  有一次两个人越翻越起劲,都翻出了8张。局面是这样的。

  小明:2,3,5,7,8,9,11,12;

  小亮:1,3,4,7,9,10,11,12。

  这时两个人的牌里都没有二倍关系,都是成功的。算一算点数,得到

  小明:2+3+5+7+8+9+11+12=57;

  小亮:1+3+4+7+9+10+11+12=57。

  两人的分数相等。小明停止翻牌,小亮也停止翻牌,握手言和。

  为什么两个人都小心翼翼,不再翻牌呢?难道不想取胜吗?

  原来,玩这种二倍二倍快躲开的游戏,有一个规律:最多只可能翻出8张成功的牌。如果冒险翻第9张牌,就怎么也躲不开二倍关系,必输无疑。这是在数学里已经证明了的,因为这种扑克游戏来源于一道数学竞赛题。这是小学数学奥林匹克邀请赛的一道初赛试题,是填空题,原题如下:

  从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多能选出____个数,使得在选出的数中,每一个数都不是另一个数的2倍。

  答案是8个数。

  从上面小明和小亮的牌局里,已经看到能选出8个数的两组实例。为什么选9个就一定出现二倍关系呢?

  首先考虑那些肯定不会有二倍关系的数。它们是:7,9,11。

  这3个数可以全部选出来。

  其次,有两个数组成一对二倍关系的小圈子,它们是:(5,10)。

  所以,在5和10这两个数里,可以选出1个,也只能选出1个。

  再其次,有3个数组成两对二倍关系,它们是:

  (3,6),(6,12)。

  所以,在3个数3、6、12中,至多可以选出两个数3和12。

  最后,还剩下4个数,它们组成二倍关系的连环套:

  (1,2),(2,4),(4,8)。

  所以,在4个数1、2、4、8中,至多可以选出两个数,或者是1和4,或者是2和8,或者是1和8。

  总而言之,不含二倍关系,至多可选出的个数是

  3+1+2+2=8(个)。

  这正是问题所需要的答案。同时也确定了全部不含二倍关系的8数组,它们是:

  ①7,9,11;3,12;5;1,4。

  ②7,9,11;3,12;5;2,8。

  ③7,9,11;3,12;5;1,8。

  ④7,9,11;3,12;10;1,4。

  ⑤7,9,11;3,12;10;2,8。

  ⑥7,9,11;3,12;10;1,8。

  其中第⑤组各数的和最大,和是62。可见在扑克游戏二倍二倍快躲开里,胜利者能取得的最高点数是62。

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