函数的最值与导数高二数学课后练习题
一、选择题
1.函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M=m，则f(x)()
A.等于0 B.大于0
C.小于0 D.以上都有可能
[答案] A
[解析] ∵M=m，y=f(x)是常数函数
f(x)=0，故应选A.
2.设f(x)=14x4+13x3+12x2在[-1,1]上的最小值为()
A.0 B.-2
C.-1 D.1312
[答案] A
[解析] y=x3+x2+x=x(x2+x+1)
令y=0，解得x=0.
f(-1)=512，f(0)=0，f(1)=1312
f(x)在[-1,1]上最小值为0.故应选A.
3.函数y=x3+x2-x+1在区间[-2,1]上的最小值为()
A.2227 B.2
C.-1 D.-4
[答案] C
[解析] y=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1)
令y=0解得x=13或x=-1
当x=-2时，y=-1;当x=-1时，y=2;
当x=13时，y=2227;当x=1时，y=2.
所以函数的最小值为-1，故应选C.
4.函数f(x)=x2-x+1在区间[-3,0]上的最值为()
A.最大值为13，最小值为34
B.最大值为1，最小值为4
C.最大值为13，最小值为1
D.最大值为-1，最小值为-7
[答案] A
[解析] ∵y=x2-x+1，y=2x-1，
令y=0，x=12，f(-3)=13，f12=34，f(0)=1.
5.函数y=x+1-x在(0,1)上的最大值为()
A.2 B.1
C.0 D.不存在
[答案] A
[解析] y=12x-121-x=121-x-xx1-x
由y=0得x=12，在0，12上y0，在12，1上
y0.x=12时y极大=2，
又x(0,1)，ymax=2.
6.函数f(x)=x4-4x (|x|1)()
A.有最大值，无最小值
B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，有最小值
D.既无最大值，也无最小值
[答案] D
[解析] f(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1).
令f(x)=0，得x=1.又x(-1,1)
该方程无解，
故函数f(x)在(-1,1)上既无极值也无最值.故选D.
7.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是()
A.5，-15 B.5,4
C.-4，-15 D.5，-16
[答案] A
[解析] y=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1)，
令y=0，得x=2或x=-1(舍).
∵f(0)=5，f(2)=-15，f(3)=-4，
ymax=5，ymin=-15，故选A.
8.已知函数y=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值为154，则a等于()
A.-32 B.12
C.-12 D.12或-32
[答案] C
[解析] y=-2x-2，令y=0得x=-1.
当a-1时，最大值为f(-1)=4，不合题意.
当-1
最大值为f(a)=-a2-2a+3=154，
解得a=-12或a=-32(舍去).
9.若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1，k+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是
()
A.k-3或-11或k3
B.-3
C.-2
D.不存在这样的实数
[答案] B
[解析] 因为y=3x2-12，由y0得函数的增区间是(-，-2)和(2，+)，由y0，得函数的减区间是(-2,2)，由于函数在(k-1，k+1)上不是单调函数，所以有k-1-2
10.函数f(x)=x3+ax-2在区间[1，+)上是增函数，则实数a的取值范围是()
A.[3，+) B.[-3，+)
C.(-3，+) D.(-，-3)
[答案] B
[解析] ∵f(x)=x3+ax-2在[1，+)上是增函数，f(x)=3x2+a0在[1，+)上恒成立
即a-3x2在[1，+)上恒成立
又∵在[1，+)上(-3x2)max=-3
a-3，故应选B.
二、填空题
11.函数y=x32+(1-x)32，01的最小值为______.
[答案] 22
由y0得x12，由y0得x12.
此函数在0，12上为减函数，在12，1上为增函数，最小值在x=12时取得，ymin=22.
12.函数f(x)=5-36x+3x2+4x3在区间[-2，+)上的最大值________，最小值为________.
[答案] 不存在;-2834
[解析] f(x)=-36+6x+12x2，
令f(x)=0得x1=-2，x2=32;当x32时，函数为增函数，当-232时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f(-2)=57，f32=-2834，所以最小值为-2834.
13.若函数f(x)=xx2+a(a0)在[1，+)上的最大值为33，则a的值为________.
[答案] 3-1
[解析] f(x)=x2+a-2x2(x2+a)2=a-x2(x2+a)2
令f(x)=0，解得x=a或x=-a(舍去)
当xa时，f(x)
当x=a时，f(x)=a2a=33，a=321，不合题意.
f(x)max=f(1)=11+a=33，解得a=3-1.
14.f(x)=x3-12x+8在[-3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M-m=________.
[答案] 32
[解析] f(x)=3x2-12
由f(x)0得x2或x-2，
由f(x)0得-2
f(x)在[-3，-2]上单调递增，在[-2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增.
又f(-3)=17，f(-2)=24，f(2)=-8，
f(3)=-1，
最大值M=24，最小值m=-8，
M-m=32.
三、解答题
15.求下列函数的最值：
(1)f(x)=sin2x-x-x
(2)f(x)=x+1-x2.
[解析] (1)f(x)=2cos2x-1.
令f(x)=0，得cos2x=12.
又x2，2，2x，]，
2x=3，x=6.
函数f(x)在-2上的两个极值分别为
f6=32-6，f-6=-32+6.
又f(x)在区间端点的取值为
f2，f-2.
比较以上函数值可得f(x)max=2，f(x)min=-2.
(2)∵函数f(x)有意义，
必须满足1-x20，即-11，
函数f(x)的定义域为[-1,1].
f(x)=1+12(1-x2)-12(1-x2)=1-x1-x2 .
令f(x)=0，得x=22 .
f(x)在[-1,1]上的极值为
f22=22+1-222=2.
又f(x)在区间端点的函数值为f(1)=1，f(-1)=-1，比较以上函数值可得f(x)max=2，f(x)min=-1.
16.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.求f(x)在区间-34，14上的最大值和最小值.
[解析] f(x)的定义域为-32，+.
f(x)=2x+22x+3=4x2+6x+22x+3
=2(2x+1)(x+1)2x+3.
当-320;
当-1
当x-12时，f(x)0，
所以f(x)在-34，14上的最小值为
f-12=ln2+14.
又f-34-f14=ln32+916-ln72-116=ln37+12=121-ln4990，
所以f(x)在区间-34，14上的最大值为 f14=ln72+116.
17.(2016安徽理，17)设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a，xR.
(1)求f(x)的单调区间及极值;
(2)求证：当aln2-1且x0时，exx2-2ax+1.
[分析] 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.
解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值.(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明.
[解析] (1)解：由f(x)=ex-2x+2a，xR知f(x)=ex-2，xR.
令f(x)=0，得x=ln2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的'变化情况如下表：
x (-，ln2) ln2 (ln2，+)
f(x) - 0 +
f(x) 单调递减 ? 2(1-ln2+a) 单调递增 ?
故f(x)的单调递减区间是(-，ln2)，单调递增区间是(ln2，+)，
f(x)在x=ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).
(2)证明：设g(x)=ex-x2+2ax-1，xR，于是g(x)=ex-2x+2a，xR.
由(1)知当aln2-1时，g(x)最小值为g(ln2)=2(1-ln2+a)0.
于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增.
于是当aln2-1时，对任意x(0，+)，都有g(x)g(0).
而g(0)=0，从而对任意x(0，+)，g(x)0.
即ex-x2+2ax-10，故exx2-2ax+1.
18.已知函数f(x)=4x2-72-x，x[0,1].
(1)求f(x)的单调区间和值域;
(2)设a1，函数g(x)=x3-3a2x-2a，x[0,1].若对于任意x1[0,1]，总存在x0[0,1]，使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范围.
[解析] (1)对函数f(x)求导，得
f(x)=-4x2+16x-7(2-x)2=-(2x-1)(2x-7)(2-x)2
令f(x)=0解得x=12或x=72.
当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：
x 0 (0，12)
12
(12，1)
1
f(x) - 0 +
f(x) -72
? -4 ? -3
所以，当x(0，12)时，f(x)是减函数;
当x12，1时，f(x)是增函数.
当x[0,1]时，f(x)的值域为[-4，-3].
(2)g(x)=3(x2-a2).
因为a1，当x(0,1)时，g(x)0.
因此当x(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x[0,1]时有g(x)[g(1)，g(0)].
又g(1)=1-2a-3a2，g(0)=-2a，即x[0,1]时有g(x)[1-2a-3a2，-2a].
任给x1[0,1]，f(x1)[-4，-3]，存在x0[0,1]使得g(x0)=f(x1)成立，
则[1-2a-3a2，-2a][-4，-3].
即1-2a-3a2-4，①-2a-3.②
解①式得a1或a解②式得a32.
又a1，故a的取值范围为132.
选修2-2 1.3.3 函数的最值与导数
一、选择题
1.函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M=m，则f(x)()
A.等于0 B.大于0
C.小于0 D.以上都有可能
[答案] A
[解析] ∵M=m，y=f(x)是常数函数
f(x)=0，故应选A.
2.设f(x)=14x4+13x3+12x2在[-1,1]上的最小值为()
A.0 B.-2
C.-1 D.1312
[答案] A
[解析] y=x3+x2+x=x(x2+x+1)
令y=0，解得x=0.
f(-1)=512，f(0)=0，f(1)=1312
f(x)在[-1,1]上最小值为0.故应选A.
3.函数y=x3+x2-x+1在区间[-2,1]上的最小值为()
A.2227 B.2
C.-1 D.-4
[答案] C
[解析] y=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1)
令y=0解得x=13或x=-1
当x=-2时，y=-1;当x=-1时，y=2;
当x=13时，y=2227;当x=1时，y=2.
所以函数的最小值为-1，故应选C.
4.函数f(x)=x2-x+1在区间[-3,0]上的最值为()
A.最大值为13，最小值为34
B.最大值为1，最小值为4
C.最大值为13，最小值为1
D.最大值为-1，最小值为-7
[答案] A
[解析] ∵y=x2-x+1，y=2x-1，
令y=0，x=12，f(-3)=13，f12=34，f(0)=1.
5.函数y=x+1-x在(0,1)上的最大值为()
A.2 B.1
C.0 D.不存在
[答案] A
[解析] y=12x-121-x=121-x-xx1-x
由y=0得x=12，在0，12上y0，在12，1上
y0.x=12时y极大=2，
又x(0,1)，ymax=2.
6.函数f(x)=x4-4x (|x|1)()
A.有最大值，无最小值
B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，有最小值
D.既无最大值，也无最小值
[答案] D
[解析] f(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1).
令f(x)=0，得x=1.又x(-1,1)
该方程无解，
故函数f(x)在(-1,1)上既无极值也无最值.故选D.
7.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是()
A.5，-15 B.5,4
C.-4，-15 D.5，-16
[答案] A
[解析] y=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1)，
令y=0，得x=2或x=-1(舍).
∵f(0)=5，f(2)=-15，f(3)=-4，
ymax=5，ymin=-15，故选A.
8.已知函数y=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值为154，则a等于()
A.-32 B.12
C.-12 D.12或-32
[答案] C
[解析] y=-2x-2，令y=0得x=-1.
当a-1时，最大值为f(-1)=4，不合题意.
当-1
最大值为f(a)=-a2-2a+3=154，
解得a=-12或a=-32(舍去).
9.若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1，k+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是
()
A.k-3或-11或k3
B.-3
C.-2
D.不存在这样的实数
[答案] B
[解析] 因为y=3x2-12，由y0得函数的增区间是(-，-2)和(2，+)，由y0，得函数的减区间是(-2,2)，由于函数在(k-1，k+1)上不是单调函数，所以有k-1-2
10.函数f(x)=x3+ax-2在区间[1，+)上是增函数，则实数a的取值范围是()
A.[3，+) B.[-3，+)
C.(-3，+) D.(-，-3)
[答案] B
[解析] ∵f(x)=x3+ax-2在[1，+)上是增函数，f(x)=3x2+a0在[1，+)上恒成立
即a-3x2在[1，+)上恒成立
又∵在[1，+)上(-3x2)max=-3
a-3，故应选B.
二、填空题
11.函数y=x32+(1-x)32，01的最小值为______.
[答案] 22
由y0得x12，由y0得x12.
此函数在0，12上为减函数，在12，1上为增函数，最小值在x=12时取得，ymin=22.
12.函数f(x)=5-36x+3x2+4x3在区间[-2，+)上的最大值________，最小值为________.
[答案] 不存在;-2834
[解析] f(x)=-36+6x+12x2，
令f(x)=0得x1=-2，x2=32;当x32时，函数为增函数，当-232时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f(-2)=57，f32=-2834，所以最小值为-2834.
13.若函数f(x)=xx2+a(a0)在[1，+)上的最大值为33，则a的值为________.
[答案] 3-1
[解析] f(x)=x2+a-2x2(x2+a)2=a-x2(x2+a)2
令f(x)=0，解得x=a或x=-a(舍去)
当xa时，f(x)
当x=a时，f(x)=a2a=33，a=321，不合题意.
f(x)max=f(1)=11+a=33，解得a=3-1.
14.f(x)=x3-12x+8在[-3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M-m=________.
[答案] 32
[解析] f(x)=3x2-12
由f(x)0得x2或x-2，
由f(x)0得-2
f(x)在[-3，-2]上单调递增，在[-2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增.
又f(-3)=17，f(-2)=24，f(2)=-8，
f(3)=-1，
最大值M=24，最小值m=-8，
M-m=32.
三、解答题
15.求下列函数的最值：
(1)f(x)=sin2x-x-x
(2)f(x)=x+1-x2.
[解析] (1)f(x)=2cos2x-1.
令f(x)=0，得cos2x=12.
又x2，2，2x，]，
2x=3，x=6.
函数f(x)在-2上的两个极值分别为
f6=32-6，f-6=-32+6.
又f(x)在区间端点的取值为
f2，f-2.
比较以上函数值可得f(x)max=2，f(x)min=-2.
(2)∵函数f(x)有意义，
必须满足1-x20，即-11，
函数f(x)的定义域为[-1,1].
f(x)=1+12(1-x2)-12(1-x2)=1-x1-x2 .
令f(x)=0，得x=22 .
f(x)在[-1,1]上的极值为
f22=22+1-222=2.
又f(x)在区间端点的函数值为f(1)=1，f(-1)=-1，比较以上函数值可得f(x)max=2，f(x)min=-1.
16.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.求f(x)在区间-34，14上的最大值和最小值.
[解析] f(x)的定义域为-32，+.
f(x)=2x+22x+3=4x2+6x+22x+3
=2(2x+1)(x+1)2x+3.
当-320;
当-1
当x-12时，f(x)0，
所以f(x)在-34，14上的最小值为
f-12=ln2+14.
又f-34-f14=ln32+916-ln72-116=ln37+12=121-ln4990，
所以f(x)在区间-34，14上的最大值为 f14=ln72+116.
17.(2016安徽理，17)设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a，xR.
(1)求f(x)的单调区间及极值;
(2)求证：当aln2-1且x0时，exx2-2ax+1.
[分析] 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.
解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值.(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明.
[解析] (1)解：由f(x)=ex-2x+2a，xR知f(x)=ex-2，xR.
令f(x)=0，得x=ln2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (-，ln2) ln2 (ln2，+)
f(x) - 0 +
f(x) 单调递减 ? 2(1-ln2+a) 单调递增 ?
故f(x)的单调递减区间是(-，ln2)，单调递增区间是(ln2，+)，
f(x)在x=ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).
(2)证明：设g(x)=ex-x2+2ax-1，xR，于是g(x)=ex-2x+2a，xR.
由(1)知当aln2-1时，g(x)最小值为g(ln2)=2(1-ln2+a)0.
于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增.
于是当aln2-1时，对任意x(0，+)，都有g(x)g(0).
而g(0)=0，从而对任意x(0，+)，g(x)0.
即ex-x2+2ax-10，故exx2-2ax+1.
18.已知函数f(x)=4x2-72-x，x[0,1].
(1)求f(x)的单调区间和值域;
(2)设a1，函数g(x)=x3-3a2x-2a，x[0,1].若对于任意x1[0,1]，总存在x0[0,1]，使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范围.
[解析] (1)对函数f(x)求导，得
f(x)=-4x2+16x-7(2-x)2=-(2x-1)(2x-7)(2-x)2
令f(x)=0解得x=12或x=72.
当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：
x 0 (0，12)
12
(12，1)
1
f(x) - 0 +
f(x) -72
? -4 ? -3
所以，当x(0，12)时，f(x)是减函数;
当x12，1时，f(x)是增函数.
当x[0,1]时，f(x)的值域为[-4，-3].
(2)g(x)=3(x2-a2).
因为a1，当x(0,1)时，g(x)0.
因此当x(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x[0,1]时有g(x)[g(1)，g(0)].
又g(1)=1-2a-3a2，g(0)=-2a，即x[0,1]时有g(x)[1-2a-3a2，-2a].
任给x1[0,1]，f(x1)[-4，-3]，存在x0[0,1]使得g(x0)=f(x1)成立，
则[1-2a-3a2，-2a][-4，-3].
即1-2a-3a2-4，①-2a-3.②
解①式得a1或a解②式得a32.
又a1，故a的取值范围为132.
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