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高二数学课后归纳推理综合练习题

试题 时间:2018-07-20 我要投稿

高二数学课后归纳推理综合练习题

  一、选择题

高二数学课后归纳推理综合练习题

  1.关于归纳推理,下列说法正确的是()

  A.归纳推理是一般到一般的推理

  B.归纳推理是一般到个别的推理

  C.归纳推理的结论一定是正确的

  D.归纳推理的结论是或然性的

  [答案] D

  [解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理,其结论的正确性不一定.故应选D.

  2.下列推理是归纳推理的是()

  A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a|AB|,得P的轨迹为椭圆

  B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式

  C.由圆x2+y2=r2的面积r2,猜出椭圆x2a2+y2b2=1的面积S=ab

  D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

  [答案] B

  [解析] 由归纳推理的定义知B是归纳推理,故应选B.

  3.数列{an}:2,5,11,20,x,47,中的x等于()

  A.28

  B.32

  C.33

  D.27

  [答案] B

  [解析] 因为5-2=31,11-5=6=32,20-11=9=33,猜测x-20=34,47-x=35,推知x=32.故应选B.

  4.在数列{an}中,a1=0,an+1=2an+2,则猜想an是()

  A.2n-2-12

  B.2n-2

  C.2n-1+1

  D.2n+1-4

  [答案] B

  [解析] ∵a1=0=21-2,

  a2=2a1+2=2=22-2,

  a3=2a2+2=4+2=6=23-2,

  a4=2a3+2=12+2=14=24-2,

  猜想an=2n-2.

  故应选B.

  5.某人为了观看2015年奥运会,从2005年起,每年5月10日到银行存入a元定期储蓄,若年利率为p且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2015年将所有的存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数(元)为()

  A.a(1+p)7

  B.a(1+p)8

  C.ap[(1+p)7-(1+p)]

  D.ap[(1+p)8-(1+p)]

  [答案] D

  [解析] 到2006年5月10日存款及利息为a(1+p).

  到2007年5月10日存款及利息为

  a(1+p)(1+p)+a(1+p)=a[(1+p)2+(1+p)]

  到2008年5月10日存款及利息为

  a[(1+p)2+(1+p)](1+p)+a(1+p)

  =a[(1+p)3+(1+p)2+(1+p)]

  所以到2015年5月10日存款及利息为

  a[(1+p)7+(1+p)6++(1+p)]

  =a(1+p)[1-(1+p)7]1-(1+p)

  =ap[(1+p)8-(1+p)].

  故应选D.

  6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2an(n2),而a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜想an等于()

  A.2(n+1)2

  B.2n(n+1)

  C.22n-1

  D.22n-1

  [答案] B

  [解析] 因为Sn=n2an,a1=1,

  所以S2=4a2=a1+a2a2=13=232,

  S3=9a3=a1+a2+a3a3=a1+a28=16=243,

  S4=16a4=a1+a2+a3+a4

  a4=a1+a2+a315=110=254.

  所以猜想an=2n(n+1),故应选B.

  7.n个连续自然数按规律排列下表:

  根据规律,从2016到2015箭头的方向依次为()

  A.

  B.

  C.

  D.

  [答案] C

  [解析] 观察特例的.规律知:位置相同的数字都是以4为公差的等差数列,由234可知从2016到2015为,故应选C.

  8.(2016山东文,10)观察(x2)=2x,(x4)=4x3,(cosx)=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=()

  A.f(x)

  B.-f(x)

  C.g(x)

  D.-g(x)

  [答案] D

  [解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容,由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数,

  g(-x)=-g(x),选D,体现了对学生观察能力,概括归纳推理的能力的考查.

  9.根据给出的数塔猜测1234569+7等于()

  19+2=11

  129+3=111

  1239+4=1111

  12349+5=11111

  123459+6=111111

  A.1111110

  B.1111111

  C.1111112

  D.1111113

  [答案] B

  [解析] 根据规律应为7个1,故应选B.

  10.把1、3、6、10、15、21、这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图),

  试求第七个三角形数是()

  A.27

  B.28

  C.29

  D.30

  [答案] B

  [解析] 观察归纳可知第n个三角形数共有点数:1+2+3+4++n=n(n+1)2个,第七个三角形数为7(7+1)2=28.

  二、填空题

  11.观察下列由火柴杆拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成:

  通过观察可以发现:第4个图形中,火柴杆有________根;第n个图形中,火柴杆有________根.

  [答案] 13,3n+1

  [解析] 第一个图形有4根,第2个图形有7根,第3个图形有10根,第4个图形有13根猜想第n个图形有3n+1根.

  12.从1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52中,可得一般规律是__________________.

  [答案] n+(n+1)+(n+2)++(3n-2)=(2n-1)2

  [解析] 第1式有1个数,第2式有3个数相加,第3式有5个数相加,故猜想第n个式子有2n-1个数相加,且第n个式子的第一个加数为n,每数增加1,共有2n-1个数相加,故第n个式子为:

  n+(n+1)+(n+2)++{n+[(2n-1)-1]}

  =(2n-1)2,

  即n+(n+1)+(n+2)++(3n-2)=(2n-1)2.

  13.观察下图中各正方形图案,每条边上有n(n2)个圆圈,每个图案中圆圈的总数是S,按此规律推出S与n的关系式为________.

  [答案] S=4(n-1)(n2)

  [解析] 每条边上有2个圆圈时共有S=4个;每条边上有3个圆圈时,共有S=8个;每条边上有4个圆圈时,共有S=12个.可见每条边上增加一个点,则S增加4,S与n的关系为S=4(n-1)(n2).

  14.(2009浙江理,15)观察下列等式:

  C15+C55=23-2,

  C19+C59+C99=27+23,

  C113+C513+C913+C1313=211-25,

  C117+C517+C917+C1317+C1717=215+27,

  由以上等式推测到一个一般的结论:

  对于nN*,C14n+1+C54n+1+C94n+1++C4n+14n+1=__________________.

  [答案] 24n-1+(-1)n22n-1

  [解析] 本小题主要考查归纳推理的能力

  等式右端第一项指数3,7,11,15,构成的数列通项公式为an=4n-1,第二项指数1,3,5,7,的通项公式bn=2n-1,两项中间等号正、负相间出现,右端=24n-1+(-1)n22n-1.

  三、解答题

  15.在△ABC中,不等式1A+1B+1C成立,

  在四边形ABCD中,不等式1A+1B+1C+1D成立,

  在五边形ABCDE中,不等式1A+1B+1C+1D+1E成立,猜想在n边形A1A2An中,有怎样的不等式成立?

  [解析] 根据已知特殊的数值:9、162、253,,总结归纳出一般性的规律:n2(n-2)3).

  在n边形A1A2An中:1A1+1A2++1Ann2(n-2)3).

  16.下图中(1)、(2)、(3)、(4)为四个平面图.数一数每个平面图各有多少个顶点?多少条边?它们围成了多少个区域?并将结果填入下表中.

  平面区域 顶点数 边数 区域数

  (1)

  (2)

  (3)

  (4)

  (1)观察上表,推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?

  (2)现已知某个平面图有999个顶点,且围成了999个区域,试根据以上关系确定这个平面图有多少条边?

  [解析] 各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表:

  平面区域 顶点数 边数 区域数 关系

  (1) 3 3 2 3+2-3=2

  (2) 8 12 6 8+6-12=2

  (3) 6 9 5 6+5-9=2

  (4) 10 15 7 10+7-15=2

  结论 V E F V+F-E=2

  推广 999 E 999 E=999+999-2

  =1996

  其顶点数V,边数E,平面区域数F满足关系式V+F-E=2.

  故可猜想此平面图可能有1996条边.

  17.在一容器内装有浓度为r%的溶液a升,注入浓度为p%的溶液14a升,搅匀后再倒出溶液14a升,这叫一次操作,设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn(每次注入的溶液浓度都是p%),计算b1、b2、b3,并归纳出bn的计算公式.

  [解析] b1=ar100+a4p100a+a4=110045r+15p,

  b2=ab1+a4p100a+a4=1100452r+15p+452p.

  b3=ab2+a4p100a+a4

  =1100453r+15p+452p+4253P,

  归纳得bn=110045nr+15p+452p++4n-15nP.

  18.设f(n)=n2+n+41,nN+,计算f(1),f(2),f(3),,f(10)的值,同时作出归纳推理,并用n=40验证猜想是否正确.

  [解析] f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,

  f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,

  f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83,

  f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,

  f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.

  由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都为质数.

  即:当n取任何非负整数时f(n)=n2+n+41的值为质数.

  但是当n=40时,f(40)=402+40+41=1681为合数.

  所以,上面由归纳推理得到的猜想不正确.

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