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平面向量数量积练习题

试题 时间:2018-07-11 我要投稿
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  平面向量数量积教学要求学生掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示,分享了平面向量数量积的练习题,欢迎借鉴!

  一、选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)

  1.设i,j是互相垂直的单位向量,向量a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j,(a+b)⊥(a-b),则实数m的值为(  )

  A.-2          B.2

  C.-12       D.不存在

  解析:由题设知:a=(m+1,-3),b=(1,m-1),

  ∴a+b=(m+2,m-4),

  a-b=(m,-m-2).

  ∵(a+b)⊥(a-b),

  ∴(a+b)(a-b)=0,

  ∴m(m+2)+(m-4)(-m-2)=0,

  解之得m=-2.

  故应选A.

  答案:A

  2.设a,b是非零向量,若函数f(x)=(xa+b)(a-xb)的图象是一条直线,则必有(  )

  A.a⊥b    B.a∥b

  C.|a|=|b|    D.|a|≠|b|

  解析:f(x)=(xa+b)(a-xb)的图象是一条直线,

  即f(x)的表达式是关于x的一次函数.

  而(xa+b)(a-xb)=x|a|2-x2ab+ab-x|b|2,

  故ab=0,又∵a,b为非零向量,

  ∴a⊥b,故应选A.

  答案:A

  3.向量a=(-1,1),且a与a+2b方向相同,则ab的范围是(  )

  A.(1,+∞)  B.(-1,1)

  C.(-1,+∞)  D.(-∞,1)

  解析:∵a与a+2b同向,

  ∴可设a+2b=λa(λ>0),

  则有b=λ-12a,又∵|a|=12+12=2,

  ∴ab=λ-12|a|2=λ-12×2=λ-1>-1,

  ∴ab的范围是(-1,+∞),故应选C.

  答案:C

  4.已知△ABC中,  ab<0,S△ABC=154,

  |a|=3,|b|=5,则∠BAC等于(  )

  A.30°    B.-150°

  C.150°    D.30°或150°

  解析:∵S△ABC=12|a||b|sin∠BAC=154,

  ∴sin∠BAC=12,

  又ab<0,∴∠BAC为钝角,

  ∴∠BAC=150°.

  答案:C

  5.(2010辽宁)平面上O,A,B三点不共线,设 则△OAB的面积等于(  )

  A.|a|2|b|2-(ab)2

  B.|a|2|b|2+(ab)2

  C.12|a|2|b|2-(ab)2

  D.12|a|2|b|2+(ab)2

  解析:cos〈a,b〉=ab|a||b|,

  sin∠AOB=1-cos2〈a,b〉=1-ab|a||b|2,

  所以S△OAB=12|a||b|

  sin∠AOB=12|a|2|b|2-(ab)2.

  答案:C

  6.(2010湖南)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则 等于(  )

  A.-16    B.-8

  C.8     D.16

  解析:解法一:因为cosA=ACAB,

  故 cosA=AC2=16,故选D.

  解法二: 在 上的投影为| |cosA=| |,

  故 cosA=AC2=16,故选D.

  答案:D

  二、填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)

  7.(2010江西)已知向量a,b满足|b|=2,a与b的夹角为60°,则b在a上的投影是________.

  解析:b在a上的投影是|b|cos〈a,b〉=2cos60°=1.

  答案:1

  8.(2010浙江)已知平面向量α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是________.

  解析:由于α⊥(α-2β),所以α(α-2β)=|α|2-2αβ=0,故2αβ=1,所以|2α+β|=4|α|2+4αβ+|β|2=4+2+4=10.

  答案:10

  9.已知|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为45°,要使λb-a与a垂直,则λ=________.

  解析:由λb-a与a垂直,(λb-a)a=λab-a2=0,所以λ=2.

  答案:2

  10.在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,则 )的最小值是________.

  解析:令| |=x且0≤x≤2,则| |=2-x.

  =-2(2-x)x=2(x2-2x)=2(x-1)2-2≥-2.

  ∴ 的最小值为-2.

  答案:-2

  三、解答题:(本大题共3小题,11、12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)

  11.已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为45°,求使向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角是锐角的λ的取值范围.

  解:由|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为45°,

  则ab=|a||b|cos45°=2×1×22=1.

  而(2a+λb)(λa-3b)=2λa2-6ab+λ2ab-3λb2=λ2+λ-6.

  设向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角为θ,

  则cosθ=(2a+λb)(λa-3b)|2a+λb||λa-3b|>0,且cosθ≠1,

  ∴(2a+λb)(λa-3b)>0,∴λ2+λ-6>0,

  ∴λ>2或λ<-3.

  假设cosθ=1,则2a+λb=k(λa-3b)(k>0),

  ∴2=kλ,λ=-3k,解得k2=-23.

  故使向量2a+λb和λa-3b夹角为0°的λ不存在.

  所以当λ>2或λ<-3时,向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角是锐角.

  评析:由于两个非零向量a,b的夹角θ满足0°≤θ≤180°,所以用cosθ=ab|a||b|去判断θ分五种情况:cosθ=1,θ=0°;cosθ=0,θ=90°;cosθ=-1,θ=180°;cosθ<0且cosθ≠-1,θ为钝角;cosθ>0且cosθ≠1,θ为锐角.

  12.设在平面上有两个向量a=(cosα,sinα)(0°≤α<360°),b=-12,32.

  (1)求证:向量a+b与a-b垂直;

  (2)当向量3a+b与a-3b的模相等时,求α的大小.

  解:(1)证明:因为(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-14+34=0,故a+b与a-b垂直.

  (2)由|3a+b|=|a-3b|,两边平方得3|a|2+23ab+|b|2=|a|2-23ab+3|b|2,

  所以2(|a|2-|b|2)+43ab=0,而|a|=|b|,所以ab=0,则-12cosα+32sinα=0,

  即cos(α+60°)=0,

  ∴α+60°=k180°+90°,

  即α=k180°+30°,k∈Z,

  又0°≤α<360°,则α=30°或α=210°.

  13.已知向量a=(cos(-θ),sin(-θ)),b=cosπ2-θ,sinπ2-θ,

  (1)求证:a⊥b;

  (2)若存在不等于0的实数k和t,使x=a+(t2+3)b,y=-ka+tb满足x⊥y,试求此时k+t2t的最小值.

  解:(1)证明:∵ab=cos(-θ)cosπ2-θ+

  sin(-θ)sinπ2-θ=sinθcosθ-sinθcosθ=0.

  ∴a⊥b.

  (2)由x⊥y,得xy=0,

  即[a+(t2+3)b](-ka+tb)=0,

  ∴-ka2+(t3+3t)b2+[t-k(t2+3)]ab=0,

  ∴-k|a|2+(t3+3t)|b|2=0.

  又|a|2=1,|b|2=1,∴-k+t3+3t=0,

  ∴k=t3+3t,

  ∴k+t2t=t3+t2+3tt=t2+t+3

  =t+122+114.

  故当t=-12时,k+t2t有最小值114.

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