高考文科数学二轮复习题导数及其应用专题
一、选择题
1．函数f(x)＝12x2－ln x的单调递减区间为 ( )．
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－1x≤0，解得0<x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．
答案 B
2．(2014全国新课标Ⅱ卷)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝ ( )．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－1x＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3.
答案 D
3．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为( )．
A.－∞，12∪12，2
B.－∞，0∪12，2
C.－∞，12∪12，＋∞
D.－∞，12∪2，＋∞
解析 xf′(x)<0x>0，f′x<0或x<0f′x>0.
当x∈12，2时，f(x)单调递减，此时f′(x)<0.
当x∈(－∞，0)时，f(x)单调递增，此时f′(x)>0.故选B.
答案 B
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是 ( )．
A．(0,2] B．(0,2)
C．[3，2) D．(3，2)
解析 由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得Δ＝2a2－4×3×1>0，－1<－2a6<1，f′－1＝3－2a＋1>0，f′1＝3＋2a＋1>0，又a>0，解得3<a<2，故选D.
答案 D
5．(2013浙江卷)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则 ( )．
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
解析 当k＝1时，f′(x)＝exx－1，f′(1)≠0，
∴f(1)不是极值，故A，B错；
当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，
显然f′(1)＝0，且x在1的左侧附近f′(x)<0，
x在1的右侧附近f′(x)>0，
∴f(x)在x＝1处取得极小值．故选C.
答案 C
6．(2014潍坊模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，不等式f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝30.3f(30.3)，b＝logπ3f(logπ3)，c＝log319flog319，则a，b，c间的大小关系是 ( )．
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．a>c>b
解析 设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0(x<0)，∴当x<0时，g(x)＝xf(x)为减函数．
又g(x)为偶函数，∴当x>0时，g(x)为增函数．
∵1<30.3<2,0<logπ3<1，log319＝－2，
又g(－2)＝g(x)，∴g(－2)>g(30.3)>g(logπ3)，
即c>a>b.
答案 C
二、填空题
7．(2013江西卷)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
解析 设ex＝t，则x＝ln t(t>0)，
∴f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，
∴f′(x)＝1x＋1，
∴f′(1)＝2.
答案 2
8．(2014江西卷)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
解析 设P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，
∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，
∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2，
∴y0＝eln 2＝2，
∴点P的坐标为(－ln 2,2)．
答案 (－ln 2,2)
9．(2014盐城调研)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．
解析 依题意知f′(x)＝12x2－2ax－2b，
∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.
又a>0，b>0，∴ab≤a＋b22＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，∴ab的最大值为9.
答案 9
10．已知函数f(x)＝aln x＋x在区间[2,3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵f(x)＝aln x＋x.∴f′(x)＝ax＋1.
又∵f(x)在[2,3]上单调递增，∴ax＋1≥0在x∈[2,3]上恒成立，∴a≥(－x)max＝－2，∴a∈[－2，＋∞)．
答案 [－2，＋∞)
11．(2013新课标全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值是________．
解析 由题意知f0＝f－4，f－1＝f－3，
即b＝－15×16－4a＋b，0＝9－3a＋b，解得a＝8，b＝15，
所以f(x)＝(1－x2)(x2＋8x＋15)，
则f′(x)＝－4(x＋2)(x2＋4x－1)．
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝－2－5或x＝－2＋5，
当x<－2－5时，f′(x)>0；
当－2－5<x<－2时，f′(x)<0；
－2<x<－2＋5时，f′(x)<0；
当x>－2＋5时，f′(x)<0，
所以当x＝－2－5时，f(x)极大值＝16；
当x＝－2＋5时，f(x)极大值＝16，所以函数f(x)的最大值为16.
答案 16
三、解答题
12．已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．
解 (1)∵f(x)＝ex－ax－1(x∈R)，∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0，得ex≥a.当a≤0时，f′(x)>0在R上恒成立；当a>0时，有x≥ln a.
综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(ln a，＋∞)．
(2)由(1)知f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上单调递增，
∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex在R上恒成立．
∵x∈R时，ex>0，∴a≤0，
即a的取值范围是(－∞，0]．
13．(2014西安五校二次联考)已知函数f(x)＝12ax2－(2a＋1)x＋2ln x，a∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的'切线互相平行，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解 f′(x)＝ax－(2a＋1)＋2x(x>0)．
(1)由题意得f′(1)＝f′(3)，解得a＝23.
(2)f′(x)＝ax－1x－2x(x>0)．
①当a≤0时，x>0，ax－1<0.在区间(0,2)上，f′(x)>0；在区间(2，＋∞)上，f′(x)<0，故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)．
②当0<a<12时，1a>2.在区间(0,2)和1a，＋∞上，f′(x)>0；在区间2，1a上，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是(0,2)和1a，＋∞，单调递减区间是2，1a.
③当a＝12时，f′(x)＝x－222x≥0，
故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．
④当a>12时，0<1a<2，在区间0，1a和(2，＋∞)上，f′(x)>0；在区间1a，2上，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是0，1a和(2，＋∞)，单调递减区间是1a，2.
14．(2014江西卷)已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)x，其中a<0.
(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．
解 (1)当a＝－4时，由f′(x)＝25x－2x－2x＝0得x＝25或x＝2.由f′(x)>0得x∈0，25或x∈(2，＋∞)，
故函数f(x)的单调递增区间为0，25和(2，＋∞)，
(2)因为f′(x)＝10x＋a2x＋a2x，a<0，
由f′(x)＝0得x＝－a10或x＝－a2.
当x∈0，－a10时，f(x)单调递增；当x∈－a10，－a2时，f(x)单调递减；当x∈－a2，＋∞时，f(x)单调递增，易知f(x)＝(2x＋a)2x≥0，且f－a2＝0.
①当－a2≤1，即－2≤a<0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±22－2，均不符合题意．
②当1<－a2≤4，即－8≤a<－2时，f(x)在[1,4]上的最小值为f－a2＝0，不符合题意．
③当－a2>4，即a<－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4上取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意．
综上有a＝－10.
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