余弦定理练习测试题

时间：2023-09-11 15:40:09 晶敏试题我要投稿

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余弦定理练习测试题

　　在日常学习和工作生活中，我们都可能会接触到练习题，做习题在我们的学习中占有非常重要的位置，对掌握知识、培养能力和检验学习的效果都是非常必要的，大家知道什么样的习题才是规范的吗？下面是小编整理的余弦定理练习测试题，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

余弦定理练习测试题

　　1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是()

　　A．8B．217

　　C．62D．219

　　解析：选D.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6cos120°＝76，c＝219.

　　2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则sinA的值为()

　　A.5719B.217

　　C.338D．－5719

　　解析：选A.c2＝a2＋b2－2abcosC

　　＝22＋32－2×2×3×cos120°＝19.

　　∴c＝19.

　　由asinA＝csinC得sinA＝5719.

　　3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________．

　　解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为4a2＋4a2－a222a2a＝78.

　　答案：78

　　4．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．

　　解：法一：根据余弦定理得

　　b2＝a2＋c2－2accosB.

　　∵B＝60°，2b＝a＋c，

　　∴(a＋c2)2＝a2＋c2－2accos60°，

　　整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.

　　∴△ABC是正三角形．

　　法二：根据正弦定理，

　　2b＝a＋c可转化为2sinB＝sinA＋sinC.

　　又∵B＝60°，∴A＋C＝120°，

　　∴C＝120°－A，

　　∴2sin60°＝sinA＋sin(120°－A)，

　　整理得sin(A＋30°)＝1，

　　∴A＝60°，C＝60°.

　　∴△ABC是正三角形．

　　课时训练

　　一、选择题

　　1．在△ABC中，符合余弦定理的是()

　　A．c2＝a2＋b2－2abcosC

　　B．c2＝a2－b2－2bccosA

　　C．b2＝a2－c2－2bccosA

　　D．cosC＝a2＋b2＋c22ab

　　解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题．

　　2．在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是()

　　A.1213B.513

　　C．0D.23

　　解析：选C.∵c＞b＞a，∴c所对的角C为最大角，由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝0.

　　3．已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是()

　　A．锐角三角形B．钝角三角形

　　C．直角三角形D．不能确定

　　解析：选B.∵42＝16＞22＋32＝13，∴边长为4的边所对的角是钝角，∴△ABC是钝角三角形．

　　4．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为()

　　A.π3B.π6

　　C.2π3D.π3或2π3

　　解析：选C.由已知得b2＋c2－a2＝－bc，

　　∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，

　　又∵0＜A＜π，∴A＝2π3，故选C.

　　5．在△ABC中，下列关系式

　　①asinB＝bsinA

　　②a＝bcosC＋ccosB

　　③a2＋b2－c2＝2abcosC

　　④b＝csinA＋asinC

　　一定成立的有()

　　A．1个B．2个

　　C．3个D．4个

　　解析：选C.由正、余弦定理知①③一定成立．对于②由正弦定理知sinA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)，显然成立．对于④由正弦定理sinB＝sinCsinA＋sinAsinC＝2sinAsinC，则不一定成立．

　　6．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于()

　　A.14B.34

　　C.24D.23

　　解析：选B.∵b2＝ac，c＝2a，

　　∴b2＝2a2，

　　∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a22a2a

　　＝34.

　　二、填空题

　　7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.

　　解析：由余弦定理，

　　得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosA，

　　即49＝25＋AC2－2×5×AC×(－12)，

　　AC2＋5AC－24＝0.

　　∴AC＝3或AC＝－8(舍去)．

　　答案：3

　　8．已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是________．

　　解析：解方程可得该夹角的余弦值为12，由余弦定理得：42＋52－2×4×5×12＝21，∴第三边长是21.

　　答案：21

　　9．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8，则B的大小是________．

　　解析：由正弦定理，

　　得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8.

　　不妨设a＝5k，b＝7k，c＝8k，

　　则cosB＝5k2＋8k2－7k22×5k×8k＝12，

　　∴B＝π3.

　　答案：π3

　　三、解答题

　　10．已知在△ABC中，cosA＝35，a＝4，b＝3，求角C.

　　解：A为b，c的夹角，

　　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，

　　∴16＝9＋c2－6×35c，

　　整理得5c2－18c－35＝0.

　　解得c＝5或c＝－75(舍)．

　　由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝16＋9－252×4×3＝0，

　　∵0°＜C＜180°，∴C＝90°.

　　11．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝3asinB，求C的大小．

　　解：由题意可知，

　　(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，

　　于是有a2＋2ab＋b2－c2＝3ab，

　　即a2＋b2－c22ab＝12，

　　所以cosC＝12，所以C＝60°.

　　12．在△ABC中，b＝asinC，c＝acosB，试判断△ABC的形状．

　　解：由余弦定理知cosB＝a2＋c2－b22ac，代入c＝acosB，

　　得c＝aa2＋c2－b22ac，∴c2＋b2＝a2，

　　∴△ABC是以A为直角的直角三角形．

　　又∵b＝asinC，∴b＝aca，∴b＝c，

　　∴△ABC也是等腰三角形．

　　综上所述，△ABC是等腰直角三角形．

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