高三解析几何试题及答案

试题 时间:2017-09-08 编辑:曾凯 手机版
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  高三解析几何试题是怎样的呢?又该怎么去设计和安排好高三解析几何试题,测试学生的解析几何的能力呢?下面是小编为大家提供的高三解析几何试题及答案,我们一起来看看吧!

  高三解析几何试题及答案

  一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

  1.已知圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=1上,则D与E的关系是()

  A.D+E=2 B.D+E=1

  C.D+E=-1 D.D+E=-2[来X k b 1 . c o m

  解析 D 依题意得,圆心-D2,-E2在直线x+y=1上,因此有-D2-E2=1,即D+E=-2.

  2.以线段AB:x+y-2=0(02)为直径的圆的方程为()

  A.(x+1)2+(y+1)2=2   B.(x-1)2+(y-1)2=2

  C.(x+1)2+(y+1)2=8   D.(x-1)2+(y-1)2=8

  解析 B 直径的两端点为(0,2),(2,0),圆心为(1,1),半径为2,圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.

  3.已知F1、F2是椭圆x24+y2=1的两个焦点,P为椭圆上一动点,则使|PF1||PF2|取最大值的点P为()

  A.(-2,0) B.(0,1) C.(2,0) D.(0,1)和(0,-1)

  解析 D 由椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a=4,|PF1||PF2||PF1|+|PF2|22=4,

  当且仅当|PF1|=|PF2|,即P(0,-1)或(0,1)时,取“=”.

  4.已知椭圆x216 +y225=1的焦点分别是F1、F2,P是椭圆上一点,若连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形,则点P到y轴的距离是()

  A.165 B.3 C.163 D.253

  解析 A 椭圆x216+y225=1的焦点分别为F1(0,-3)、F2(0,3),易得F1PF22,PF1F2=2或PF2F1=2,点P到y轴的距离d= |xp|,又|yp|=3,x2p16+y2p25=1,解得|xP|=165,故选A.

  5.若曲线y=x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为()

  A.4x+y+4=0 B.x-4y-4=0

  C.4x-y-12=0 D.4x-y-4=0

  解析 D 设切点为(x0,y0),则y|x=x0=2x0, 2x0=4,即x0=2,

  切点为(2,4),方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.

  6.“m0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()

  A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

  C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

  解析 C 方程可化为x21m+y21n=1,若焦点在y轴上,则1n0,即m0.

  7.设双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为()

  A.54 B.5 C.52 D.5

  解析 D 双曲线的渐近线为y=bax,由对称性,只要与一条渐近线有一个公共点

  即可由y=x2+1,y=bax,得x2-bax+1=0.

  =b2a2-4=0,即b2=4a2,e=5.

  8.P为椭圆x24+y23=1上一点,F1、F2为该椭圆的两个焦点,若F1PF2=60,则PF1PF2=()

  A.3 B.3

  C.23 D.2

  解析 D ∵S△PF1F2=b2tan602=3tan 30=3=12|PF1||PF2|sin 60,|PF1||PF2|=4,PF1PF2=412=2.

  9.设椭圆x2m2+y2n2=1(m0,n0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为()

  A.x212+y216=1 B.x216+y212=1

  C.x248+y264=1 D.x264+y248=1

  解析 B 抛物线的焦点为(2,0),由题意得c=2,cm=12,

  m=4,n2=12,方程为x216+y212=1.

  10.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的 一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为()

  A.2 B.3

  C.2 D.3

  解析 B 设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1,焦点F(-c,0),将x=-c代入x2a2-y2b2=

  1可得y2=b4a2,|AB|=2b2a=22a,b2=2a2,c2=a2+b2=3a2,e=ca=3.

  11.已知抛物线y2=4x的准线过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左顶点,且此双曲线的一条渐近线方程为y=2x,则双曲线的焦距为()

  A.5 B.25

  C.3 D.23

  解析 B ∵抛物线y2=4x的准线x=-1过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左顶点,a=1,双曲线的渐近线方程为y=bax=bx.∵双 曲线的一条渐近线方程为y=2x,b=2,c=a2+b2=5,双曲线的焦距为25.

  12.已知抛物线y2=2px(p0)上一点M(1,m)(m0)到其焦点的距离为5,双曲线x2a-y2=1的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值为()

  A.19 B.14

  C.13 D.12

  解析 A 由于M(1,m)在抛物线上,m2=2p,而M到抛物线的焦点的距离为5,根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x=-p2的距离也为5,1+p2=5,p=8,由此可以求得m=4,双曲线的左顶点为A(-a,0),kAM=41+a,而双曲线的渐近线方程为y=xa,根据题意得,41+a=1a,a=19.

  二、填空题(本大题共4小题,每小题5分, 共20分.把答案填在题中横线上)

  13.已知直线l1:ax-y+2a+1=0和l2:2x-(a-1)y+2=0(aR),则l1l2的充要条件是a=________.

  解析 l1l2a2a-1=-1,解得a=13.

  【答案】 13

  14.直线l:y=k(x+3)与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,|AB|=22,则实数k=________.

  解析 ∵|AB|=22,圆O半径为2,O到l的距离d=22-2=2.即|3k|k2+1=2,解得k= 147.

  【答案】 147

  15.过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P、Q,则线段PQ的长为________.

  解析 如图,圆的方程可化为

  (x-3)2+(y-4)2=5,

  |OM|=5,|OQ|=25-5=25.

  在△OQM中,

  12|QA||OM|=12|OQ||QM|,

  |AQ|=2555=2,|PQ|=4.

  【答案】 4

  16.在△ABC中,|BC|=4,△ABC的内切圆切BC于D点,且|BD|-|CD|=22,则顶点A的轨迹方程为________.

  解析 以BC的中点为原点,中垂线为y轴建立如图所示的坐标系,E、F分别为两个切点.

  则|BE|=|BD|,|CD|=|CF|,

  |AE|=|AF|.|AB|-|AC|=22,

  点A的轨迹为以B,C为焦点的双曲线的右支(y0),且a=2,c=2,b=2,方程为x22-y22=1(x2).

  【答案】 x22-y22=1(x2)

  三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

  17.(10分)在平面直角坐标系中,已知圆心在直线y=x+4上,半径为22的圆C经过原点O.

  (1)求圆C的方程;

  (2)求经过点(0,2)且被圆C所截得弦长为4的直线方程.

  解析 (1)设圆心为(a,b),

  则b=a+4,a2+b2=22,解得a=-2,b=2,

  故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.

  (2)当斜率不存在时,x=0,与圆的两个交点为(0,4),(0,0),则弦长为4,符合题意;

  当斜率存在时,设直线为y-2=kx,

  则由题意得,8=4+-2k1+k22,无解.

  综上,直线方程为x=0.

  18.(12分)(2011合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(-3,0)和F2(3,0),且椭圆过点1,-32.

  (1)求椭圆方程;

  (2)过点-65,0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M,N两点,A为椭圆的左顶点.试判断MAN的大小是否为定值,并说明理由.

  解析 (1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a0),

  由c=3,椭圆过点1,-32可得a2-b2=3,1a2+34b2=1,

  解得a2=4,b2=1,所以可得椭圆方程为x24+y2=1.

  (2)由题意可设直线MN的方程为:x=ky-65,

  联立直线MN和椭圆的方程:x=ky-65,x24+y2=1,化简得(k2+4)y2-125ky-6425=0.

  设M(x1,y1),N(x2,y2),

  则y1y2=-6425k2+4,y1+y2=12k5k2+4,

  又A(-2,0),则AMAN=(x1+2,y1)(x2+2,y2)=(k2+1)y1y2+45k(y1+y2)+1625=0,所以MAN=2.

  19.(12分)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦 点的距离分别为7和1.

  (1)求椭圆C的方程;

  (2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,|OP||OM|=e(e为椭圆离心率),求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

  解析 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a,c,

  由已知,得a-c=1,a+c=7,解得a=4,c=3.

  椭圆方程为x216+y27=1.

  (2)设M(x,y),P(x,y1),其中x[-4,4],

  由已知得x2+y21x2+y2=e2,而e=34,

  故16(x2+y21)=9(x2+y2),①

  由点P在椭圆C上,得y21=112-7x216,

  代入①式并化简,得9y2=112.

  点M的轨迹方程为y=473(-44),

  轨迹是两条平行于x轴的线段.

  20.(12分)给定抛物线y2=2x,设A(a,0),a0,P是抛物线上的一点,且|PA|=d,试求d的最小值.

  解析 设P(x0,y0)(x00),则y20=2x0,

  d=|PA|=x0-a2+y20=x0-a2+2x0=[x0+1-a]2+2a-1.

  ∵a0,x00,

  (1)当01时,1-a0,

  此时有x0=0时,dmin=1-a2+2a-1=a;

  (2)当a1时,1-a0,

  此时有x0=a-1时,dmin=2a-1.

  21.(12分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为2,且过点(4,-10),点M(3,m)在双曲线上.

  (1)求双曲线方程;

  (2)求证:点M在以F1F2为直径的圆上;

  (3)求△F1MF2的面积.

  解析 (1)∵双曲线离心率e=2,

  设所求双曲线方程为x2-y2=(0),

  则由点(4,-10)在双曲线上,

  知=42-(-10)2=6,

  双曲线方程为x2-y2=6.

  (2)若点M(3,m)在双曲线上,则32-m2=6,m2=3,由双曲线x2-y2=6知F1(23,0),F2(-23,0),

  MF1MF2=(23-3,-m)(-23- 3,-m)=m2-3=0,

  MF1MF2,故点M在以F1F2为直径的圆上.

  (3)S△F1MF2=12|F1F2||m|=233=6.

  22.(12分)已知实数m1,定点A(-m,0),B(m,0),S为一动点,点 S与A,B两点连线斜率之积为-1m2.

  (1)求动点S的轨迹C的方程,并指出它是哪一种曲线;

  (2)当m=2时,问t取何值时,直线l:2x-y+t=0(t0)与曲线C有且只有一个交点?

  (3)在(2)的条件下,证明:直线l上横坐标小于2的点P到点(1,0)的距离与到直线x=2的距离之比的最小值等于曲线C的离心率.

  解 析 (1)设S(x,y),则kSA=y-0x+m,kSB=y-0x-m.

  由题意,得y2x2-m2=-1m2,即x2m2+y2=1(xm).

  ∵m1,

  轨迹C是中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点),其中长轴长为2m,短轴长为2.

  (2)当m=2时,曲线C的方程为x22+y2=1(x2).

  由2x-y+t=0,x22+y2=1,消去y,得9x2+8tx+2t2-2=0.

  令=64t2-362(t2-1)=0,得t=3.

  ∵t0,t=3.

  此时直线l与曲线C有且只有一个公共点.

  (3)由(2)知直线l的方程为2x-y+3=0,

  设点P(a,2a+3)(a2),d1表示P到点(1,0)的距离,d2表示P到直线x=2的距离,则

  d1=a-12+2a+32=5a2+10a+10,

  d2=2-a,

  d1d2=5a2+10a+102-a=5a2+2a+2a-22.

  令f(a)=a2+2a+2a-22,

  则f(a)=2a+2a-22-2a2+2a+2a-2a-24

  =-6a+8a-23.

  令f(a)=0,得a=-43.

  ∵当a-43时,f(a)0;

  当-432时,f(a)0.

  f(a)在a=-43时取得最小值,即d1d2取得最小值,

  d1d2min=5f-43=22,又椭圆的离心率为22, d1d2的最小值等于椭圆的离心率.

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