小学五年级“分数的意义”教学结构研究论文

小学五年级“分数的意义”教学结构研究论文

　　分数，分数单位，把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。表示这样的一份的数叫分数单位。下面是小编为你带来的 小学五年级“分数的意义”教学结构研究论文，欢迎阅读。

　　分数是个复杂的概念，其获得过程需要解决许多认知上的矛盾，即便在教学条件下，小学生掌握它也需要相当长的时间。因此，分数相关知识是小学数学学习的难点之一。小学数学教材通常以螺旋递增模式编排这部分内容，在低段开始接触“平均”分物，中段初步认识分数（包括分子、分母、分数线概念以及分数的读写），到了高段则进一步认识分数意义，从将一个物体平均分发展到把一群物体平均分。分数意义的教学也因此成为小学数学的一个重要研究论题。

　　一、对“分数的意义”教学现实的追问

　　笔者听过多节五年级“分数的意义”的课，有常态课，也有观摩课，尽管这些课上教师行为、学生课堂表现有较大差别，但是他们的课堂教学结构却大同小异。笔者新近对某小学五年级数学教师的教学计划决策和课堂交互决策作质性研究，以其中的一节“分数的意义”为例，该教师的课堂情况可以大致归纳如下：学生动手操作学具→用语言（或具体分数）表示结果。即在课堂上，每个学生都有一副学具，有糖果、棋子、圆形纸片和方形纸片等。学生任意“操作”一个分数，教师再抽查学生用语言表述自己分物的过程和具体分数，比如“我有八个棋子，把它们平均分成4份，其中的1份占这个整体的四之一，用表示。”

　　类似这样的教学过程可以图示如下：

　　图1 “分数的意义”现实教学过程图

　　在课前和课后的及时访谈中我们了解到，教师之所以作出这样的教学决策主要基于对教材的认识和解读。教材（人教版）提供了四条信息（图2）：（1）言语“你能举例说明的含义吗？”（2）圆纸片、方纸片和线段图；（3）香蕉和面包，并附“每根是这把香蕉的”“每份是这盘面包的”的示范语言；（4）分数意义和单位“1”含义的描述语言。教师由信息（1）（3）（4）决策课堂活动的主要形式是学生动手操作并言语表述；由信息（2）和（3）决策学生的操作活动是“分实物”。也就是说，教师从上述信息中作出了两个推理和决策，一是视纸片和面包为起到等同作用的实物；二是视言语表述为分数意义学习的唯一路径。于是，便产生了图1所示的教学过程。

　　基于这种现实教学中并不鲜见的现象，通过对教材资源进行深度挖掘，并对信息的意义及信息之间的关系进行深度剖析，我们不禁要追问：纸片与面包完全等同吗？分数意义学习只有“分实物→言语表述”的单一走向吗？

　　二、分数意义教学中的纸片：由实物走向模式

　　对问题“纸片与面包是否完全等同”，在了解关于分数及其意义的一些基本原理后便可明确作答。

　　（一）表达“部分与整体关系”意义的模式

　　我们知道，分数的重要意义之一就是表示了“部分与整体的关系”，这个看似简单的命题，我们的孩子实际上很难达成认识和理解。除了分数本身比较抽象外，更主要的原因在于教师没有明确引导学生建立一些能更形象、更全面说明分数意义的模式。

　　关于“部分与整体关系”意义的模式有四个渠道可以建立：范围、长度、集合和面积。范围模式对儿童来说是最具体也最容易操作的，整体（单位“1”）是一个范围，而部分是大小与形状的叠合。教师们通常采用这个模式进行分数学习的后续讲解，教师们最常用到的范围模式有圆形和矩形，其实三角形也是一个不错的选择：

　　图3 “部分与整体关系”之范围模式图例

　　但是，它们各自有些特点需要注意。圆形模式便于儿童发现整体却对部分较难理解，矩形模式易于儿童理解部分却难于理解整体，而三角形模式两方面都比较困难。

　　集合模式则用一个集合作为整体，如图4所示：

　　图4 “部分与整体关系”之集合模式图例

　　集合模式对于儿童理解分数有一定困难，因为他们连分实物都会产生一些困难，何况这种抽象的模式。不过，教师可以通过操作实物渗透集合均分的思想，也可以渗透一个整体中可以包含不同类别的物体的意义，比如教师可以在提供的学具中既包含糖果，也包含棋子。需要注意的是，即使教师不准备这样做，自己也应该很清楚这一点，因为教师对分数意义全面、完整的理解对学生建构分数的意义具有重要作用。

　　线段图属于长度模式，小学生比较熟悉，也比较容易理解。面积模式包含了范围模式所涉及的情况，这个模式适合于较大儿童（四年级及其以上），图5可以帮助孩子更好地理解这类模式。

　　图5 “部分与整体关系”之面积模式图例

　　由上可知，分数表达了“部分与整体的关系”，而范围、长度、集合和面积则把这种关系和意义模式化，使孩子们对分数意义的理解更直观、渐进和全面。进一步地，如果能够意识、找到并恰当运用这些模式，我们的教学也许会更有效。

　　(二)教材中具有“模式”功能的信息源

　　那么，教材中是哪些信息在提示我们要构建并运用模式作为学生认识和理解分数意义的桥梁呢?

　　我们回到图2，结合上述的分析便不难理解，教材中呈现的线段图、圆纸片和方纸片，特别是纸片，除了是实物外，更重要的是兼具了“模式”的功能。线段图属于长度模式，圆纸片和方纸片既属于范围模式也属于面积模式。如此的话，教材中的信息源除了“分实物”“言语表述”和“符号”外，又多了一个元素，即“模式”。

　　相对于以往对教材中纸片的认识，通过今天的讨论，纸片便“返璞归真”，兼具实物与模式的功能，其中，模式的功能似乎更富含教学的意蕴。通过对“分数的意义”教材的重新解读，纸片实现了由实物走向模式的角色转换，并将因此给“分数的意义”的教学带来新的生机和活力。

　　三、构建“模式主导，双向多维”的教学结构

　　(一)模式的核心地位

　　在教材所呈现的四个元素，即实物、模式、言语和符号中，模式是联结其余三个元素的桥梁。

　　首先，纸片是面包、香蕉等实物平均分的模式化。模式是实物操作的数学转化，从实物走向模式是学生经历数学思维抽象、归纳并建立逻辑关系结构的`过程，是数学化的过程，即模式化的过程就是数学化的过程。弗赖登塔尔说“没有数学化就没有数学”，真正的数学知识应当是关于抽象的数学对象的研究，而并非对于真实事物或现象量性属性的直接研究。所谓数学是模式的科学，由实物操作走向模式走出了数学味。

　　其次，模式与符号和言语之间分别建立了双向逻辑关系，即模式?圮符号、模式?圮言语、符号?圮言语(经模式表象)。这样的关系可图示如下：

　　在上述图形中，模式元处于中心地位。模式由实物操作数学化而来，形成“分数意义”抽象的研究对象，并为分数意义的学习提供直观材料和意义建构的载体。例如，平均分香蕉为4份(实物操作)，将该过程模式化为平均分成4份的长方形纸片，该模式与符号、言语“把香蕉平均分成4份，其中的一份是整体的四分之一”形成双向逻辑关系，而符号与言语之间经由长方形纸片模式建立了双向逻辑关系。这里提到的双向逻辑关系在后面的探讨中，将更详细地予以解释。

　　据此，通过分析教材、提取信息→解读信息背后的含义→建构信息之间的关系等步骤，纸片的“模式”功能在上述关系图中的核心地位凸显出来，它不仅能使分数意义的教学活动的数学味更加显现，也能使该教学过程显得立体多元。

　　(二)“模式主导，双向多维”教学结构的操作要义

　　如果把上面对模式、符号、言语、实物之间的关系的分析和探讨相应地进行教学过程化，那么，“模式主导，双向多维”的教学结构便水到渠成。如图6：

　　图6“分数意义”之“模式主导，双向多维”教学结构示意图

　　把这样的双向关系转化为相应的分数意义的学习活动，则至少有六种路径：

　　(1)由模式写符号；(2)由符号选模式；(3)根据符号进行言语表述(借助模式表象)；(4)由表述写符号(借助模式表象)；(5)根据模式进行言语表达分实物的过程(结合符号)；(6)言语表达分实物过程后再选模式或画模式。

　　本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文

　　其中，(1)与(2)，(3)与(4)，(5)与(6)，是三组互逆的学习过程，能够培养学生的逆向思维，进而使传统教育中所忽视的发散思维能力得到很好的培养，从而促进学生创造性思维的养成。而实物操作到模式的数学化过程则是分数意义学习的逻辑起点。

　　以上解析了分数意义的学习过程，对于教师而言，“模式主导，双向多维”教学结构的操作要义如下。

　　要义一：(1)创设情境，引导学生经历由实物操作走向模式的数学化过程；(2)给模式写符号，同时给符号选模式；(3)借助模式表象，给符号进行言语表述，同时给表述写符号；(4)给模式，儿童言语表达分实物的过程，同时儿童言语表达分实物的过程后再选模式或画模式。

　　要义二：(1)分实物后引导学生经历实物操作到模式的数学化过程，然后写出分数符号；同时，先给出符号由学生选模式，然后再表述分实物的过程；(2)给符号后要求学生言语表达(或画)模式，再依此描述分实物的过程；同时，言语表述模式后，描述分实物的过程，再写出符号。

　　前者将实物操作到模式的数学化过程相对独立化，后者则将该过程糅合于各个双向的逻辑关系之中。

　　(三)两种教学结构的比较

　　图1和图6分别基于教学现实和理论分析勾勒出两类小学五年级“分数的意义”的教学结构，即“分数的意义”现实教学过程和“模式主导，双向多维”的教学过程。前者呈现断裂性和单向性的特点，学生学习分数意义的活动断裂进行(分实物→言语表述符号或分实物→言语表述分物过程)，跨越了“实物到模式”的数学化的过程，并构建了“实物到言语”的单向学习活动，使整个学习活动显得单一和断裂，不利于学生全面、深刻地理解分数的意义，不利于学生体悟和积累数学化的数学经验，其根本是不利于学生数学思维的发展。逆向思维是发散思维的一种重要形式，发散思维又是创造性思维的基础。所以归根结底是不利于学生创造性思维的培养。

　　后者呈现多维性和双向性的特点，模式元素是整个结构的核心，各个元素之间的关系是双向互动的关系，从多个维度(实物→模式?圮符号、实物→模式?圮言语或实物→模式、模式?圮符号?圮言语等维度)实现学生对分数意义的全面理解，有利于学生积累丰富的数学活动经验，更有利于学生数学思维、创造性思维的良好发展，为学生未来的数学学习生活注入活力。

　　调研中有教师说，在一次小学数学毕业会考中，有一道题目是要求学生根据给出的分数在给出的方格图中用阴影表示出来(即给出符号选择模式)，绝大多数学生没有做出来。这实际上就是在教学中没有注意到“模式主导，双向多维”的教学模式所致。

　　四、“模式主导，双向多维”教学结构的教学意义

　　我们归结分数意义的教学结构，并非仅仅追求外在教学形式的简单改变，意在深入挖掘其内蕴的教学意义，使教学形式的改变由内至外而发生，而非外力强加的、缺乏灵魂的生硬动作。

　　“模式主导，双向多维”的分数意义的教学，其内涵的意义至少有以下两点。(1)数学化是数学学习的逻辑起点。数学的研究对象是从现实事件中抽象出来的模式，而不是现实事件本身。从现实事件抽象出模式的过程，是数学化的过程。(2)数学学习过程是各路径双向互动、多路径融会贯通的有机整体。数学学习过程是多路径交错的动态过程，各路径相对独立，又整体关联，相互依存。独立的路径双向互动，并非单一走向；关联的路径融会贯通，以一定的模式相互整合，构成数学知识意义生成的有机载体。

　　上述教学意义的提炼，期望有助于教师更有效地教学“分数的意义”，进一步地，能把这些教学意义合理迁移到其他的数学教学领域。