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双曲线的几何性质数学教案设计

教案 时间:2018-06-21 我要投稿
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双曲线的几何性质(第1课时)

  ㈠课时目标

  1.熟悉双曲线的几何性质。

  2.能理解离心率的大小对双曲线形状的影响。

  3.能运用双曲线的几何性质或图形特征,确定焦点的位置,会求双曲线的标准方程。

  ㈡教学过程

  [情景设置]

  叙述椭圆 的几何性质,并填写下表:

  方程

  性质

  图像(略)

  范围-a≤x≤a,-b≤y≤b

  对称性对称轴、对称中心

  顶点(±a,0)、(±b,0)

  离心率e=(几何意义)

  (三)探索研究

  1.类比椭圆 的几何性质,探讨双曲线 的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率。

  双曲线的实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。

  双曲线与椭圆的几何性质对比如下:

  方程

  性质

  图像(略) (略)

  范围-a≤x≤a,-b≤y≤bx≥a,或x≤-a,y∈R

  对称性对称轴、对称中心对称轴、对称中心

  顶点(±a,0)、(±b,0)(-a,0)、(a,0)

  离心率0<e=<1

  e=>1

  下面继续研究离心率的几何意义:

  (a、b、c、e关系:c2=a2+b2, e=>1)

  2。渐近线的发现与论证

  根据椭圆的上述四个性质,能较为准确地把 画出来吗?(能)

  根据上述双曲线的四个性质,能较为准确地把 画出来吗?(不能)

  通过列表描点,能把双曲线的顶点及附近的点,比较精确地画出来,但双曲线向何处伸展就不很清楚。

  我们能较为准确地画出曲线y=,这是为什么?(因为当双曲线伸向远处时,它与x轴、y轴无限接近)此时,x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线。

  问:双曲线 有没有渐近线呢?若有,又该是怎样的直线呢?

  引导猜想:在研究双曲线的范围时,由双曲线的标准方程可解出:

  y=± =±

  当x无限增大时, 就无限趋近于零,也就是说,这是双曲线y=±

  与直线y=± 无限接近。

  这使我们猜想直线y=± 为双曲线的渐近线。

  直线y=± 恰好是过实轴端点A1、A2,虚轴端点B1、B2,作平行于坐标轴的直线x=±a, y=±b所成的矩形的两条对角线,那么,如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时,与渐近线越来越接近呢?显然,只要考虑第一象限即可。

  证法1:如图,设M(x0,y0)为第一象限内双曲线 上的仍一点,则

  y0= ,M(x0,y0)到渐近线ay-bx=0的距离为:

  ∣MQ∣= =

  = .

  点M向远处运动, x0随着增大,∣MQ∣就逐渐减小,M点就无限接近于 y=

  故把y=± 叫做双曲线 的渐近线。

  3.离心率的几何意义

  ∵e=,c>a, ∴e>1由等式c2-a2=b2,可得 ===

  e越小(接近于1) 越接近于0,双曲线开口越小(扁狭)

  e越大 越大,双曲线开口越大(开阔)

  4.巩固练习

  求下列双曲线的渐近线方程,并画出双曲线。

  ①4x2-y2=4 ②4x2-y2=-4

  已知双曲线的渐近线方程为x±2y=0,分别求出过以下各点的双曲线方程

  ①M(4, ) ②M(4, )

  [知识应用与解题研究]

  例 1 求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

  例2 双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转而成的曲面,如图;它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m,选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程(精确到1m)

  ㈣提炼总结

  1。双曲线的几何性质及a、b、c、e的关系。

  2。渐近线是双曲线特有的性质,其发现证明蕴含了重要的数学思想与数学方法。

  3。双曲线的几何性质与椭圆的几何性质类似点和不同点。

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