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苏科版八年级下册9.2反比例函数的图象与性质(2)教案设计

教案 时间:2018-06-10 我要投稿
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  苏科版八年级下9.2反比例函数的图象与性质(2)教案

  9.2 反比例函数的图象与性质(3)

  教学目标

  使学生对反比例函数和反比例函数的图象意义加深理解.

  教学重难点

  重点:反比例函数的图象.

  难点:利用反比例函数的图象解题.

  教学过程

  一、情境创设

  反比例函数

  解析式y=kx (k为常数,k≠0)

  图象形状双曲线(以原点为对称中心)

  k>0位置一、三象限

  增减性每一象限内,y随x的增大而减小

  k<0位置二、四象限

  增减性每一象限内,y随x的增大而增大

  二、例题讲解

  例1. 如图是反比例函数 的图象的一支。

  (1)函数图象的另一支在第几象限?试求常数m的取值范围;

  (2)点 都在这个反比例函数的图象上,比较 、 、 的大小

  例2. 如图,已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象交于A、B两点, 且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2,

  求:(1)一次函数的解析式;

  (2)△AOB的面积.

  四、课堂练习

  课本P70 练习1、2题

  五、课堂小结

  1. 反比例函数的图象.

  2. 反比例函数的性质.

  六、课堂作业

  课本 P72/ 第5题

  (北师大版)第一章一元一次不等式和一元一次不等式组复习学案

  第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组复习(编号:复01)

  一. 知识点回顾

  1. 一般地, 用符号 连接的式子叫做不等式.

  2. 不等式的性质: 不等式的两边都加上(或减去)同一个整式, 不等号的方向 .

  不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数, 不等号的方向 .

  不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数, 不等号的方向 .

  3. 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1, 像这样的不等式,叫做 .

  二. 课堂训练( A组)

  1、不等式性质应用若 ,用“>”号或“<”号填空:

  变式训练:已知(2a-1)x<4的解为x> ,则a的取值范围为______

  2、在数轴上表示不等式x-2>0的解集,其中正确的是( )

  3. 如右图,当 时,自变量 的范围是( )

  A、 B、 C、 D、

  4、在平面直角坐标系内,点P( , )在第四象限,则 的取值范围是( )

  A、 B、 C、 D、

  5、“x的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是( )

  A.2x-3≤8;B.2x-3≥8; C.2x-3<8;D.2x-3>8

  6.若不等式组 无解,则m的取值范围是( )

  A.m<11B.m>11 C.m≤11D.m≥11

  7、若不等式组 的解集是x>1,则a的取值范围是 。

  8、 求

  7、解不等式组(1) X- 2(x-3) >4 (2)

  三. 课堂训练 (B组)

  5.已知函数y=2x-4,右图是该函数的图象,回答下列问题

  (1)观察图像回答: 当x为什么值时,y>0?

  (2)如果这个函数y的值满足-4≤y≤4,求相应的x的取值范围.

  6. 某班有住宿生若干人,分住若干间宿舍,若每间住4人,则还余20人无宿舍住;若每间住8人,则有一间宿舍不空也不满,求该班住宿生人数和宿舍间数。

  7.某牛奶公司向某地运输一批牛奶,由铁路运输每千克需运费0.58元,由公路运输运费0.28元,另需要补助600元.

  (1) 设该公司运输的这批牛奶为 x千克,选择铁路运输时,所需运费为 元,选择公路运输时,所需费用为 元,请分别写出 , 与x之间的关系式.

  (2) 若公司只支出运费1500元, 则选用哪种运输方式运送的牛奶多? 若公司运送1500kg牛奶,则哪种运输方式所需费用较少?

  四. 课后作业 (自我展现)

  1.下列不等式一定成立的是( )

  A.5a>4aB.x+2<x+3 C.-a>-2aD.

  2.不等式-3x+6>0的非负正整数有( )

  A.1个B.2个 C.3个D.无数多个

  3、已知关于方程3x+a=x-7的根是正数, 那么a的取值范围是 .

  4、已知一次函数y = kx + b 的图象如图所示,当y<0时,

  x的取值范围是 .

  5、不等式 的解集是 ,则a的取值范围是 。

  6. 解不等式组

  (1) (2) (3)

  7. 小明准备用26元买火腿肠和方便面, 已知一根火腿肠2元, 一盒方便面3元,他买了5盒方便面,他还能买多少根火腿肠?

  8、某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月,如果每月比计划多烧5吨煤,那么取暖用煤总量将超过100吨;如果每月比计划少烧5吨煤,那么取暖用煤总量不足68吨。该校计划每月烧煤多少吨?

  9、某工厂现有甲种原料360kg,乙种原料290 kg,计划利用这两种原料生产A、B两种的产品共50件,生产A、B两种产品用料情况如下表:

  需要用甲原料需要用乙原料

  一件A种产品9 kg3 kg

  一件B种产品4 kg10 kg

  若设生产A产品 件,求 的值,并说明有哪几种符合题意的生产方案。……(共10分题)

  10. 暑假期间,两名家长计划带领若干名学生去旅游,他们联系了报价均为500元的两家旅行社。经协商,甲旅行社的优惠条件是:两名家长全额收费,学生都按7折收费,乙旅行社的优惠条件是:家长和学生都按8折收费,假设这两名家长带领x名学生去旅游, 他们应该选择哪家旅行社?

  勾股定理

  j.Co M

  勾股定理(第二课时)

  编写人:审核人: 日期: 编号: 年级:

  一、学习目标:利用勾股定理解直角三角形

  二、重难点:勾服定理的运用

  三、知识回顾:

  1.在Rt△ABC中∠C=90°,则C2= C=

  b2= b=

  a2= a=

  2.如图在Rt△ABC中∠C=90°,则AB2= AB=

  BC2= BC=

  AC2= AC=

  四、学法指导:课前预习P66-67,小组合作,当堂检测

  例:1.已知在Rt△ABC中∠C=90°,a=3,b=4,求c

  2.求直角三角形中未知边的长度

  3.已知Rt△ABC中∠C=90°,AB=13,BC=5,求AC

  五、小组合作

  1.已知Rt△ABC中,a=8,b=15,求c.

  2.如果一个直角三角形的两边长分别是6cm和8cm,那么这个三角形的周长是多少cm?

  3.如图等边△ABC的边长去6cm.

  (1)求高AD的长。

  (2)求△ABC的面积。

  4.下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段,旗杆有多高呢?你能想个办法吗?请你与同伴交流设计方案?

  小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他们把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗?

  反思:

  轴对称

  课题:12.1.1 轴对称(一)

  目标:

  1、在生活实例中认识轴对称图.

  2、分析轴对称图形,理解轴对称的概念.

  重点:

  轴对称图形的概念.

  教学难点:

  能够识别轴对称图形并找出它的对称轴.

  教学过程

  一、新课引入

  我们生活在一个充满对称的世界中,许多建筑物都设计成对称形,艺术作品的创作往往也从对称角度考虑,自然界的许多动植物也按对称形生长,中国的方块字中些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受!初步掌握对称的奥秒,不仅可以帮助我们发现一些图形的特征,还可以使我们感受到自然界的美与和谐. 轴对称是对称中重要的一种,从这节课开始,我们来学习第十四章:轴对称.今天我们来研究第一节,认识什么是轴对称图形,什么是对称轴.

  二、新课讲解:

  出示课本的图片,观察它们都有些什么共同特征.

  这些图形都是对称的.这些图形从中间分开后,左右两部分能够完全重合.

  小结:对称现象无处不在,从自然景观到分子结构,从建筑物到艺术作品,甚至日常生活用品,人们都可以找到对称的例子.现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子.

  我们的黑板、课桌、椅子等.

  我们的身体,还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的.

  如课本的图14.1.2,把一张纸对折,剪出一个图案(折痕处不要完全剪断),再打开这张对折的纸,就剪出了美丽的窗花.观察得到的窗花和图14.1.1中的图形,你能发现它们有什么共同的特点吗?

  窗花可以沿折痕对折,使折痕两旁的部分完全重合.不仅窗花可以沿一条直线对折,使直线两旁重合,上面图14.1.1中的图形也可以沿一条直线对折,使直线两旁的部分重合.

  结论:如果一个图形沿一直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.

  了解了轴对称图形及其对称轴的概念后,我们来做一做.

  取一张质地较硬的纸,将纸对折,并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案,将纸打开后铺平,你得到两个成轴对称的图案了吗?与同伴进行交流.

  结论:位于折痕两侧的图案是对称的,它们可以互相重合.

  由此可以得到轴对称图形的特征:一个图形沿一条直线折叠后,折痕两侧的图形完全重合.

  接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题.有些轴对称图形的对称轴只有一条,但有的轴对称图形的对称轴却不止一条,有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。

  下列各图,你能找出它们的对称轴吗?

  结果:图(1)有四条对称轴;图(2)有四条对称轴;图(3)有无数条对称轴;图(4)有两条对称轴;图(5)有七条对称轴.

  (1) (2) (3) (4) (5)

  展示挂图,大家想一想,你发现了什么?

  像这样,把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.

  随堂练习

  (一)课本P117练习 (二)P118练习

  三、课堂小结:

  这节课我们主要认识了轴对称图形,了解了轴对称图形及有关概念,进一步探讨了轴对称的特点,区分了轴对称图形和两个图形成轴对称.

  四、作业

  (一)课本习题14.1─1、2、6、7、8题.

  课后作业:

  课本P118思考.

  成轴对称的两个图形全等吗?如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形全等吗?这两个图形对称吗?

  过程:在硬纸板上画两个成轴对称的图形,再用剪刀将这两个图形剪下来看是否重合.再在硬纸板上画出一个轴对称图形,然后将该图形剪下来,再沿对称轴剪开,看两部分是否能够完全重合. 结论:成轴对称的两个图形全等.如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形全等,并且也是成轴对称的.

  轴对称是说两个图形的位置关系,而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形.

  轴对称的两个图形和轴对称图形,都要沿某一条直线折叠后重合;如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称;反过来,如果把两个成轴对称的图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.

  课题:12.1.2 轴对称(二)

  教学目标:

  1、了解两个图形成轴对称性的性质,了解轴对称图形的性质.

  2、探究线段垂直平分线的性质.

  3、经历探索轴对称图形性质的过程,进一步体验轴对称的特点,发展空间观察.

  教学重点:

  1.轴对称的性质.

  2.线段垂直平分线的性质.

  教学难点:

  体验轴对称的特征.

  教学过程:

  一、新课引入:

  上节课我们共同探讨了轴对称图形,知道现实生活中由于有轴对称图形,而使得世界非常美丽.那么大家想一想,什么样的图形是轴对称图形呢?

  今天继续来研究轴对称的性质.

  二、新课讲解:

  观看投影并思考.

  如图,△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称,点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点,线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系?

  图中A、A′是对称点,AA′与MN垂直,BB′和CC′也与MN垂直.

  AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外还有什么关系吗?

  △ABC与△A′B′C′关于直线MN对称,点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点,设AA′交对称轴MN于点P,将△ABC和△A′B′C′沿MN对折后,点A与A′重合,于是有AP=A′P,∠MPA=∠MPA′=90°.所以AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外,MN还经过线段AA′、BB′和CC′的中点.

  对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段.我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.

  自己动手画一个轴对称图形,并找出两对称点,看一下对称轴和两对称点连线的关系.

  我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样,对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段.

  归纳图形轴对称的性质:

  如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.类似地,轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.

  下面我们来探究线段垂直平分线的性质.

  [探究1]

  如下图.木条L与AB钉在一起,L垂直平分AB,P1,P2,P3,…是L上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到A与B的距离,你有什么发现?

  1.用平面图将上述问题进行转化,先作出线段AB,过AB中点作AB的垂直平分线L,在L上取P1、P2、P3…,连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…

  2.作好图后,用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律.

  探究结果:

  线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.即AP1=BP1,AP2=BP2,…

  证明.

  证法一:利用判定两个三角形全等.

  如下图,在△APC和△BPC中,

  △APC≌△BPC PA=PB.

  证法二:利用轴对称性质.

  由于点C是线段AB的中点,将线段AB沿直线L对折,线段PA与PB是重合的,因此它们也是相等的.

  带着探究1的结论我们来看下面的问题.

  [探究2]

  如右图.用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋,做一个简易的“弓”,“箭”通过木棒中央的孔射出去,怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢?为什么?

  活动:

  1.用平面图形将上述问题进行转化.作线段AB,取其中点P,过P作L,在L上取点P1、P2,连结AP1、AP2、BP1、BP2.会有以下两种可能.

  2.讨论:要使L与AB垂直,AP1、AP2、BP1、BP2应满足什么条件?

  探究过程:

  1.如上图甲,若AP1≠BP1,那么沿L将图形折叠后,A与B不可能重合,也就是∠APP1≠∠BPP1,即L与AB不垂直.

  2.如上图乙,若AP1=BP1,那么沿L将图形折叠后,A与B恰好重合,就有∠APP1=∠BPP1,即L与AB重合.当AP2=BP2时,亦然.

  探究结论:

  与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.也就是说在[探究2]图中,只要使箭端到弓两端的端点的距离相等,就能保持射出箭的方向与木棒垂直.

  [师]上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质,即:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.

  随堂练习

  课本P121练习 1、2.

  三、课堂小结

  这节课通过探索轴对称图形对称性的过程,了解了线段的垂直平分线的有关性质,同学们应灵活运用这些性质来解决问题.

  四、课后作业

  (一)课本习题14.1─3、4、9题.

  课题12.2 轴对称变换

  教学目标:

  1、通过实际操作,了解什么叫做轴对称变换.

  2、如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形.

  教学重点:

  1、轴对称变换的定义.

  2、能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形.

  教学难点:

  1、作出简单平面图形关于直线的轴对称图形.

  2、利用轴对称进行一些图案设计.

  教学过程:

  一、新课引入:

  在前一个章节,我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题.在上节课的作业中,我们有个要求,让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法,现在来看一下同学们完成的怎么样.

  将一张纸对折后,用针尖在纸上扎出一个图案,将纸打开后铺平,得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形.

  准备一张质地较软,吸水性能好的纸或报纸,在纸的一侧上滴上一滴墨水,将纸迅速对折,压平,并且手指压出清晰的折痕.再将纸打开后铺平,位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的.

  这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形.

  二、新课讲解:

  由我们已经学过的知识知道,连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.

  类似地,我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形,重复这个过程,可以得到美丽的图案.

  对称轴方向和位置发生变化时,得到的图形的方向和位置也会发生变化.大家看大屏幕,从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置,体会对称轴方向和位置的变化在图案设计中的奇妙用途.

  下面,同学们自己动手在一张纸上画一个图形,将这张纸折叠描图,再打开看看,得到了什么?改变折痕的位置并重复几次,又得到了什么?同学们互相交流一下.

  结论:由一个平面图形呆以得到它关于一条直线L对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全相同;新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线L的对称点;

  连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.

  我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.

  成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到.一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换扩展而成的.

  取一张长30厘米,宽6厘米的纸条,将它每3厘米一段,一正一反像“手风琴”那样折叠起来,并在折叠好的纸上画上字母E,用小刀把画出的字母E挖去,拉开“手风琴”,你就可以得到以字母E为图案的花边.回答下列问题.

  (1)在你所得的花边中,相邻两个图案有什么关系?相间的两个图案又有什么关系?说说你的理由.

  (2)如果以相邻两个图案为一组,每一组图案之间有什么关系?三个图案为一组呢?为什么?

  (3)在上面的活动中,如果先将纸条纵向对折,再折成“手风琴”,然后继续上面的步骤,此时会得到怎样的花边?它是轴对称图形吗?先猜一猜,再做一做.

  注:为了保证剪开后的纸条保持连结,画出的图案应与折叠线稍远一些.

  随堂练习:

  (一)如图(1),将一张正六边形纸沿虚线对折折3次,得到一个多层的60°角形纸,用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线,如图(2).

  (1)猜一猜,将纸打开后,你会得到怎样的图形?

  (2)这个图形有几条对称轴?

  (3)如果想得到一个含有5条对称轴的图形,你应取什么形状的纸?应如何折叠?

  答案:(1)轴对称图形.

  (2)这个图形至少有3条对称轴.

  (3)取一个正十边形的纸,沿它通过中心的五条对角线折叠五次,得到一个多层的36°角形纸,用剪刀在叠好的纸上任意剪出一条线,打开即可得到一个至少含有5条对称轴的轴对称图形.

  三、课堂小结

  本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形,并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案.在利用轴对称变换设计图案时,要注意运用对称轴位置和方向的变化,使我们设计出更新疑独特的美丽图案.

  动手并思考

  (一)如下图所示,取一张薄的正方形纸,沿对角线对折后,得到一个等腰直角三角形,再沿斜边上的高线对折,将得到的角形沿黑色线剪开,去掉含90°角的部分,拆开折叠的纸,并将其铺平.

  (1)你会得怎样的图案?先猜一猜,再做一做.

  (2)你能说明为什么会得到这样的图案吗?应用学过的轴对称的知识试一试.

  (3)如果将正方形纸按上面方式折3次,然后再沿圆弧剪开,去掉较小部分,展开后结果又会怎样?为什么?

  (4)当纸对折2次后,剪出的图案至少有几条对称轴?3次呢?

  答案:(1)得到一个有2条对称轴的图形.

  (2)按照上面的做法,实际上相当于折出了正方形的2条对称轴;因此(1)中的图案一定有2条对称轴.

  (3)按题中的方式将正方形对折3次,相当于折出了正方形的4条对称轴,因此得到的图案一定有4条对称轴.

  (4)当纸对折2次,剪出的图案至少有2条对称轴;当纸对折3次,剪出的图案至少有4条对称轴.

  (二)自己设计并制作一个花边.

  四、作业:

  如果想剪出如下图所示的“小人”以及“十字”,你想怎样剪?设法使剪的次数尽可能少.

  过程:学生通过观察、分析设计自己的操作方法,教师提示学生利用轴对称变换的应用.

  结果:“小人”可以先折叠一次,剪出它的一半即可得到整个图.

  “十字”可以折叠两次,剪出它的四分之一即可.

  课题:12.2 .2 用坐标表示轴对称

  教学目标:

  在平面直角坐标系中,确定轴对称变换前后两个图形中特殊点的位置关系,再利用轴对称的性质作出成轴对称的图形

  教学重点:

  用坐标表示轴对称

  教学难点

  利用转化的思想,确定能代表轴对称图形的关键点

  教学过程:

  一、新课引入:

  复习轴对称图形的有关性质

  二、新课讲解:

  1、学生探索:

  点(x,y)关于x轴对称的点的坐标(x,-y);点(x,y)关于y轴对称的点的坐标(-x,y);点 (x,y)关于原点对称的点的坐标(-x,-y)

  2、例3 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1)、B(-2,1)、C(-2,5)、D(-5,4),分别作出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形.

  (1)归纳:与已知点关于y 轴或x轴对称的点的坐标的规律;

  (2)学生画图

  (3)对于这类问题,只要先求出已知图形中的一些特殊点的对应点的坐标,描出并顺次连接这些特殊点,就可以得到这个图形的轴对称图形.

  3、探究问题

  分别作出△PQR关于直线x=1(记为m)和直线y=-1(记为n)对称的图形,你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗?

  (1)学生画图,由具体的数据,发现它们的对应点的坐标之间的关系

  (2)若△P Q R 中P (x ,y )关于x=1(记为m)轴对称的点的坐标P (x ,y ) ,

  则 ,y = y .

  若△P Q R 中P (x ,y )关于y=-1(记为n)轴对称的点的坐标P (x ,y ) ,

  则x = x , =n.

  训练:课本135页的第1~3题

  三、课堂小结:

  关于Y轴对称和关于X轴对称的两点的坐标有什么特点?

  四、作业:课本136页的第5~7题

  课题:12.3.1.1 等腰三角形

  教学目标:

  1、等腰三角形的概念.

  2、等腰三角形的性质.

  3、等腰三角形的概念及性质的应用.

  教学重点:

  1、等腰三角形的概念及性质.

  2、等腰三角形性质的应用.

  教学难点:

  等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.

  教学过程:

  一、新课引入:

  在前面的学习中,我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质,并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形,还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.来研究:①三角形是轴对称图形吗?②什么样的三角形是轴对称图形?

  有的三角形是轴对称图形,有的三角形不是.

  问题:那什么样的三角形是轴对称图形?

  满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形,也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形.

  我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形.

  二、新课讲解:

  要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形.

  作一条直线L,在L上取点A,在L外取点B,作出点B关于直线L的对称点C,连结AB、BC、CA,则可得到一个等腰三角形.

  等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角.

  思考:

  1.等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴.

  2.等腰三角形的两底角有什么关系?

  3.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?

  4.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?底边上的高所在的直线呢?

  结论:等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.因为等腰三角形的两腰相等,所以把这两条腰重合对折三角形便知:等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.

  要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠,找出它的对称轴,并看它的两个底角有什么关系.

  沿等腰三角形的顶角的平分线对折,发现它两旁的部分互相重合,由此可知这个等腰三角形的两个底角相等,而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线,也是底边上的高.

  由此可以得到等腰三角形的性质:

  1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).

  2.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”).

  由上面折叠的过程获得启发,我们可以通过作出等腰三角形的对称轴,得到两个全等的三角形,从而利用三角形的全等来证明这些性质.同学们现在就动手来写出这些证明过程).

  如右图,在△ABC中,AB=AC,作底边BC的中线AD,因为

  所以△BAD≌△CAD(SSS).

  所以∠B=∠C.

  ]如右图,在△ABC中,AB=AC,作顶角∠BAC的角平分线AD,因为

  所以△BAD≌△CAD.

  所以BD=CD,∠BDA=∠CDA= ∠BDC=90°.

  [例1]如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,

  求:△ABC各角的度数.

  分析:

  根据等边对等角的性质,我们可以得到

  ∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC,

  再由∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.

  再由三角形内角和为180°,就可求出△ABC的三个内角.

  把∠A设为x的话,那么∠ABC、∠C都可以用x来表示,这样过程就更简捷.

  解:因为AB=AC,BD=BC=AD,

  所以∠ABC=∠C=∠BDC.

  ∠A=∠ABD(等边对等角).

  设∠A=x,则

  ∠BDC=∠A+∠ABD=2x,

  从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.

  于是在△ABC中,有

  ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,

  解得x=36°.

  在△ABC中,∠A=35°,∠ABC=∠C=72°.

  [师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识.

  随堂练习

  (一)课本P141练习 1、2、3.

  (二)阅读课本P138~P140,然后小结.

  三、课时小结

  这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.等腰三角形是轴对称图形,它的两个底角相等(等边对等角),等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线,并且它的顶角平分线既是底边上的中线,又是底边上的高.

  我们通过这节课的学习,首先就是要理解并掌握这些性质,并且能够灵活应用它们.

  四、作业

  (一)课本P147─1、3、4、8题.

  参考练习

  一、选择题

  1.如果△ABC是轴对称图形,则它的对称轴一定是( )

  A.某一条边上的高; B.某一条边上的中线

  C.平分一角和这个角对边的直线; D.某一个角的平分线

  2.等腰三角形的一个外角是100°,它的顶角的度数是( )

  A.80° B.20° C.80°和20° D.80°或50°

  答案:1.C 2.C

  二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm,并且它的周长为16cm.

  求这个等腰三角形的边长.

  解:设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm,根据题意,得

  2(x+2)+x=16.

  解得x=4.

  所以,等腰三角形的三边长为4cm、6cm和6cm.

  课题:12.3.1.1 等腰三角形(二)

  教学目标:

  1、理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论

  2、能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系.

  教学重点:

  等腰三角形的判定定理及推论的运用

  教学难点

  正确区分等腰三角形的判定与性质.能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系.

  教学过程:

  一、新课引入:

  复习等腰三角形的性质

  二、新课讲解:

  出示投影片.某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度,选择河流北岸上一棵树(B点)为B标,然后在这棵树的正南方(南岸A点抽一小旗作标志)沿南偏东60°方向走一段距离到C处时,测得∠ACB为30°,这时,地质专家测得AC的长度就可知河流宽度.

  学生们很想知道,这样估测河流宽度的根据是什么?带着这个问题,引导学生学习“等腰三角形的判定”.

  1.由性质定理的题设和结论的变化,引出研究的内容??在△ABC中,苦∠B=∠C,则AB= AC吗?

  作一个两个角相等的三角形,然后观察两等角所对的边有什么关系?

  2.引导学生根据图形,写出已知、求证.

  2、小结,通过论证,这个命题是真命题,即“等腰三角形的判定定理”(板书定理名称).

  强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据,类似于性质定理可简称“等角对等边”.

  4.引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据.

  例题与练习

  1.如图2

  其中△ABC是等腰三角形的是 [ ]

  2.①如图3,已知△ABC中,AB=AC.∠A=36°,则∠C______(根据什么?).

  ②如图4,已知△ABC中,∠A=36°,∠C=72°,△ABC是______三角形(根据什么?).

  ③若已知∠A=36°,∠C=72°,BD平分∠ABC交AC于D,判断图5中等腰三角形有______.

  ④若已知 AD=4cm,则BC______cm.

  3.以问题形式引出推论l______.

  4.以问题形式引出推论2______.

  例: 如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,求证这个三角形是等腰三角形.

  分析:引导学生根据题意作出图形,写出已知、求证,并分析证明.

  练习:5.(l)如图6,在△ABC中,AB=AC,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F,过F作DE//BC,交AB于点D,交AC于E.问图中哪些三角形是等腰三角形?

  (2)上题中,若去掉条件AB=AC,其他条件不变,图6中还有等腰三角形吗?

  三、课堂小结

  1.判定一个三角形是等腰三角形有几种方法?

  2.判定一个三角形是等边三角形有几种方法?

  3.等腰三角形的性质定理与判定定理有何关系?

  4.现在证明线段相等问题,一般应从几方面考虑?

  四、作业

  阅读教材

  教材第150页第12题

  课题:12.3.2 等边三角形(一)

  教学目的:

  1、使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度。

  2、熟识等边三角形的性质及判定.

  3、通过例题教学,帮助学生总结代数法求几何角度,线段长度的方法。

  教学重点:

  等腰三角形的性质及其应用。

  教学难点:

  简洁的逻辑推理。

  教学过程:

  一、新课引入:

  1.叙述等腰三角形的性质,它是怎么得到的?

  等腰三角形的两个底角相等,也可以简称“等边对等角”。把等腰三角形对折,折叠两部分是互相重合的,即AB与AC重合,点B与点 C重合,线段BD与CD也重合,所以∠B=∠C。

  等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线和底边上的高线互相重合,简称“三线合一”。由于AD为等腰三角形的对称轴,所以BD= CD,AD为底边上的中线;∠BAD=∠CAD,AD为顶角平分线,∠ADB=∠ADC=90°,AD又为底边上的高,因此“三线合一”。

  2.若等腰三角形的两边长为3和4,则其周长为多少?

  二、新课讲解:

  在等腰三角形中,有一种特殊的情况,就是底边与腰相等,这时,三角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

  等边三角形具有什么性质呢?

  1.请同学们画一个等边三角形,用量角器量出各个内角的度数,并提出猜想。

  2.你能否用已知的知识,通过推理得到你的猜想是正确的?

  等边三角形是特殊的等腰三角形,由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A=∠B=C,又由∠A+∠B+∠C=180°,从而推出∠A=∠B=∠C=60°。

  3.上面的条件和结论如何叙述?

  等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°。

  等边三角形是轴对称图形吗?如果是,有几条对称轴?

  等边三角形也称为正三角形。

  例1.在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,∠B=30°,求∠1和∠ADC的度数。

  分析:由AB=AC,D为BC的中点,可知AB为 BC底边上的中线,由“三线合一”可知AD是△ABC的顶角平分线,底边上的高,从而∠ADC=90°,∠l=∠BAC,由于∠C=∠B=30°,∠BAC可求,所以∠1可求。

  问题1:本题若将D是BC边上的中点这一条件改为AD为等腰三角形顶角平分线或底边BC上的高线,其它条件不变,计算的结果是否一样?

  问题2:求∠1是否还有其它方法?

  练习巩固:

  1.判断下列命题,对的打“√”,错的打“×”。

  a.等腰三角形的角平分线,中线和高互相重合( )

  b.有一个角是60°的等腰三角形,其它两个内角也为60°( )

  2.如图(2),在△ABC中,已知AB=AC,AD为∠BAC的平分线,且∠2=25°,求∠ADB和∠B的度数。

  三、课堂小结:

  由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等,且都为60°。“三线合一”性质在实际应用中,只要推出其中一个结论成立,其他两个结论一样成立,所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。

  四、作业

  1.课本P147─7,9

  2、补充:如图(3),△ABC是等边三角形,BD、CE是中线,求∠CBD,∠BOE,∠BOC,

  ∠EOD的度数。

  课题:12.3.2.2 等边三角形(二)

  教学目标:

  1、掌握等边三角形的性质和判定方法.

  2、培养分析问题、解决问题的能力.

  教学重点:

  等边三角形的性质和判定方法.

  教学难点:

  等边三角形性质的应用

  教学过程:

  一、新课引入:

  回顾上节课讲过的等边三角形的有关知识

  1.等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.

  2.等边三角形每一个角相等,都等于60°

  3.三个角都相等的三角形是等边三角形.

  4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

  其中1、2是等边三角形的性质;3、4的等边三角形的判断方法.

  二、新课讲解:

  例题与练习

  1.△ABC是等边三角形,以下三种方法分别得到的△ADE都是等边三角形吗,为什么?

  ①在边AB、AC上分别截取AD=AE.

  ②作∠ADE=60°,D、E分别在边AB、AC上.

  ③过边AB上D点作DE∥BC,交边AC于E点.

  2.已知:如右图,P、Q是△ABC的边BC上的两点,,并且PB=PQ=QC=AP=AQ.求∠BAC的大小.

  分析:由已知显然可知三角形APQ是等边三角形,每个角都是60°.又知△APB与△AQC都是等腰三角形,两底角相等,由三角形外角性质即可推得∠PAB=30°.

  三、课堂小结

  1、等腰三角形和性质

  2、等腰三角形的条件

  四、布置作业

  1.教科书第147页练习1、2

  2.选做题:

  (1)教科书第150页习题14.3第ll题.

  (2)已知等边△ABC,求平面内一点P,满足A,B,C,P四点中的任意三点连线都构成等腰三角形.这样的点有多少个?

  课题:12.3.2.1 等边三角形(三)

  教学目标:

  1、掌握等边三角形的性质和判定方法.

  2、培养分析问题、解决问题的能力.

  教学重点:

  等边三角形的性质和判定方法.

  教学难点:

  等边三角形性质的应用

  教学过程

  一、新课引入:

  复习等腰三角形的判定与性质

  二、新课讲解:

  1.等边三角形的性质:三边相等;三角都是60°;三边上的中线、高、角平分线相等

  2.等边三角形的判定:

  三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;

  在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半

  注意:推论1是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论2说明在等腰三角形中,只要有一个角是600,不论这个角是顶角还是底角,就可以判定这个三角形是等边三角形。推论3反映的是直角三角形中边与角之间的关系.

  3.由学生解答课本148页的例子;

  4.补充:已知如图所示, 在△ABC中, BD是AC边上的中线, DB⊥BC于B,

  ∠ABC=120o, 求证: AB=2BC

  分析 由已知条件可得∠ABD=30o, 如能构造有一个锐角是30o的直角三角形, 斜边是AB,30o角所对的边是与BC相等的线段,问题就得到解决了.

  B

  证明: 过A作AE∥BC交BD的延长线于E

  ∵DB⊥BC(已知)

  ∴∠AED=90o (两直线平行内错角相等)

  在△ADE和△CDB中

  ∴△ADE≌△CDB(AAS)

  ∴AE=CB(全等三角形的对应边相等)

  ∵∠ABC=120o,DB⊥BC(已知)

  ∴∠ABD=30o

  在Rt△ABE中,∠ABD=30o

  ∴AE= AB(在直角三角形中,如果一个锐角等于30o,

  那么它所对的直角边等于斜边的一半)

  ∴BC= AB 即AB=2BC

  点评 本题还可过C作CE∥AB

  5、训练:如图所示,在等边△ABC的边的延长线上取一点E,以CE为边作等边△CDE,使它与△ABC位于直线AE的同一侧,点M为线段AD的中点,点N为线段BE的中点,求证:△CNM是等边三角形.

  分析 由已知易证明△ADC≌△BEC,得BE=AD,∠EBC=∠DAE,而M、N分别为BE、AD的中点,于是有BN=AM,要证明△CNM是等边三角形,只须证MC=CN,∠MCN=60o,所以要证△NBC≌△MAC,由上述已推出的结论,根据边角边公里,可证得△NBC≌△MAC

  证明:∵等边△ABC和等边△DCE,

  ∴BC=AC,CD=CE,(等边三角形的边相等)

  ∠BCA=∠DCE=60o(等边三角形的每个角都是60)

  ∴∠BCE=∠DCA

  ∴△BCE≌△ACD(SAS)

  ∴∠EBC=∠DAC(全等三角形的对应角相等)

  BE=AD(全等三角形的对应边相等)

  又∵BN= BE,AM= AD(中点定义)

  ∴BN=AM

  ∴△NBC≌△MAC(SAS)

  ∴CM=CN(全等三角形的对应边相等)

  ∠ACM=∠BCN(全等三角形的对应角相等)

  ∴∠MCN=∠ACB=60o

  ∴△MCN为等边三角形(有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形)

  小结

  1.本题通过将分析法和综合法并用进行分析,得到了本题的证题思路,较复杂的几何问题经常用这种方法进行分析

  2.本题反复利用等边三角形的性质,证得了两对三角形全等,从而证得△MCN是一个含60o角的等腰三角形,在较复杂的图形中,如何准确地找到所需要的全等三角形是证题的关键.

  三、课堂小结:

  小结本节知识

  四、作业:

  第十四章一次函数

  第十四章 一次函数

  本章小结

  小结1 本章概述

  本章的主要内容包括:变量与函数的概念,函数的三种表示方法,正比例函数和一次函数的概念、图象、性质以及应用举例,用函数观点认识一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组,课题学习“选择方案”.

  函数是研究运动变化的重要数学模型,它来源于客观实际,又服务于客观实际,而一次函数又是函数中最简单、最基本的函数,它是学习其他函数的基础,所以理解和掌握一次函数的概念、图象和性质至关重要,应认真掌握.

  小结2 本章学习重难点

  【本章重点】理解函数的概念,特别是一次函数和正比例函数的概念,掌握一次函数的图象及性质,会利用待定系数法求一次函数的解析式.利用函数图象解决实际问题,发展数学应用能力,初步体会方程与函数的关系及函数与不等式的关系,从而建立良好的知识联系.

  【本章难点】1.根据题设的条件寻找一次函数关系式,熟练作出一次函数的图象,掌握一次函数的图象和性质,求出一次函数的表达式,会利用函数图象解决实际问题.

  2.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组的关系.

  小结3 学法指导

  1.注意从运动变化和联系对应的角度认识函数.

  2.借助实际问题情境,由具体到抽象地认识函数,通过函数应用举例,体会数学建模思想.

  3.注重数形结合思想在函数学习中的应用.

  4.加强前后知识的联系,体会函数观点的统领作用.

  5.结合课题学习,提高实践意识和综合应用数学知识的能力.

  知识网络结构图

  专题总结及应用

  一、知识性专题

  专题1 函数自变量的取值范围

  【专题解读】 一般地,求自变量的取值范围时应先建立自变量满足的所有不等式,通过解不等式组下结论.

  例1 函数 中,自变量x的取值范围是 ( )

  A.x≠0 B.x≠1

  C.x≠2 D.x≠-2

  分析 由x+2≠0,得x≠-2.故选D.

  例2 函数 中,自变量x的取值范围是 ( )

  A.x≥-1 B.-1<x<2

  C.-1≤x<2 D.x<2

  分析 由 得 即-1≤x<2.故选C.

  专题2 一次函数的定义

  【专题解读】 一次函数一般形如y=kx+b,其中自变量的次数为1,系数不为0,两者缺一不可.

  例3 在一次函数y=(m-3)xm-1+x+3中,符x≠0,则m的值为 .

  分析 由于x≠0,所以当m-1=0,即m=1时,函数关系式为y=x+1.当m-3=0,即m=3时,函数关系式为y=x+3;当m-1=1,即m=2时,函数关系式为y=(m-2)x+3,当m=2时,m-2=0,此时函数不是一次函数.所以m=1或m=3.故填1或3.

  专题3 一次函数的图象及性质

  【专题解读】 一次函数y=kx+b的图象为一条直线,与坐标轴的交点分别为 ,(0,b).它的倾斜程度由k决定,b决定该直线与y轴交点的位置.

  例4 已知一次函数的图象经过(2,5)和(-1,-1)两点.

  (1)画出这个函数的图象;

  (2)求这个一次函数的解析式.

  分析 已知两点可确定一条直线,运用待定系数法即可求出对应的函数关系式.

  解:(1)图象如图14-104所示.

  (2)设函数解析式为y=kx+b,则 解得

  所以函数解析式为y=2x+1.

  二、规律方法专题

  专题4 一次函数与方程(或方程组或不等式)的关系

  【专题解读】 可根据一次函数的图象求出一元一次方程或二元一次方程(组)的解或一元一次不等式的解集,反之,由方程(组)的解也可确定一次函数表达武.

  例5 如图14-105所示,已知函数y=3x+b和y=ax-3的图象交于点P(-2,-5),则根据图象可得不等式3x+b>ax-3的解集是 .

  分析 由图象知当x>-2时,y=3x+b对应的y值大于y=ax-3对应的y值,或者y=3x+b的图象在x>-2时位于y=ax-3的图象上方.故填x>-2.

  专题5 一次函数的应用

  【专题解读】在应用一次函数解决实际问题时,关键是将实际问题转化为数学问题.

  例6 假定拖拉机耕地时,每小时的耗油量是个常最,已知拖拉机耕地2小时油箱中余油28升,耕地3小时油箱中余油22升.

  (1)写出油箱中余油量Q(升)与工作时间t(小时)之间的函数关系式;

  (2)画出函数的图象;

  (3)这台拖拉机工作3小时后,油箱中的油还够拖拉机继续耕地几小时?

  分析 由两组对应量可求出函数关系式,再画出图象(在自变量取值范围内).

  解:(1)设函数关系式为Q=kt+b(k≠0).

  由题意可知 ∴

  ∴余没量Q与时间t之间的函数关系式是Q=-6t+40.

  ∵40-6t≥0,∴t≤ .

  ∴自变量t的取值范围是0≤t≤ .

  (2)当t=0时,Q=40;当t= 时,Q=0.

  得到点(0,40),( ,0).

  连接两点,得出函数Q=-6t+40(0≤t≤ )的图象,如图14-106所示.

  (3)当Q=0时,t= ,那么 -3= (小时).

  ∴拖拉机还能耕地 小时,即3小时40分.

  规律.方法 运用一次函数图象及其性质可以帮助我们解决实际生活中的许多问题,如利润最大、成本最小、话费最省、最佳设计方案等问题,我们应善于总结规律,达到灵活运用的目的.

  三、思想方法专题

  专题6 函数思想

  【专题解读】 函数思想就是应用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系,抽象升华为函数模型,进而解决有关问题的方法,函数的实质是研究两个变量之间的对应关系,灵活运用函数思想可以解决许多数学问题.

  例7 利用图象解二元一次方程组

  分析 方程组中的两个方程均为关于x,y的二元一次方程,可以转化为y关于x的函数.由①得y=2x-2,由②得y=-x-5,实质上是两个y关于x的一次函数,在平面直角坐标系中画出它们的图象,可确定它们的交点坐标,即可求出方程组的解.

  解:由①得y=2x-2,

  由②得y=-x-5.

  在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x-2,y=-x-5的图象,如图14-107所示.

  观察图象可知,直线y=2x-2与直线y=-x-5的交点坐标是(-1,-4).

  ∴原方程组的解是

  规律?方法 解方程组通常用消元法,但如果把方程组中的两个方程看做是两个一次函数,画出这两个函数的图象,那么它们的交点坐标就是方程组的解.

  例8 我国是一个严重缺水的国家,大家应该倍加珍惜水资源,节约用水.据测试,拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水,每滴水约0.05 mL.小明同学在洗手时,没有把水龙头拧紧,当小明离开x小时后,水龙头滴了y mL水.

  (1)试写出y与x之间的函数关系式;

  (2)当滴了1620 mL水时,小明离开水龙头几小时?

  分析 已知拧不紧的水龙头每秒滴2滴水,又∵1小时=3600秒,∴1小时滴水(3600×2)滴,又∵每滴水约0.05 mL,每小时约滴水3600×2×0.05=360(mL).

  解:(1)y与x之间的函数关系式为y=360x(x≥0).

  (2)当y=1620时,有360x=1620,∴x=4.5.

  ∴当滴了1620 mL水时,小明离开水龙头4.5小时.

  专题7 数形结合思想

  【专题解读】 数形结合思想是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法.数形结合思想在解决与函数有关的问题时,能起到事半功倍的作用.

  例9 如图14-108所示,一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A,B两点,如果A点的坐标为(2,0),且OA=OB,试求一次函数的解析式.

  分析 通过观察图象可以看出,要确定一次函数的关系式,只要确定B点的坐标即可,因为OB=OA=2,所以点B的坐标为(0,-2),再结合A点坐标,即可求出一次函数的关系式.

  解:设一次函数的关系式为y=kx+b(k,b为常数,且k≠0).

  ∵OA=OB,点A的坐标为(2,0),

  ∴点B的坐标为(0,-2).

  ∵点A,B的坐标满足一次函数的关系式y=kx+b,

  ∴一次函数的解析式为y=x-2.

  【解题策略】 利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用,在解决有关函数问题时有着重要的作用.

  专题8 分类讨论思想

  【专题解读】 分类讨论思想是在对数学对象进行分类的过程中寻求答案的一种思想方法.分类讨论思想既是一种重要的数学思想,又是一种重要的数学方法.分类的关键是根据分类的目的,找出分类的对象.分类既不能重复,也不能遗漏,最后要全面总结.

  例10 在一次遥控车比赛中,电脑记录了速度的变化过程,如图14-109所示,能否用函数关系式表示这段记录?

  分析 根据所给图象及函数图象的增减性,本题要分三种情况进行讨论.电脑记录提供了赛车时间t(s)与赛车速度v(m/s)之间的关系,在10 s内,赛车的速度从0增加到7.5 m/s,又减至0,因此要注意时间对速度的影响.

  解:观察图象可知.

  当t在0~1 s内时,速度v与时间t是正比例函数关系,v=7.5t(0≤t≤1).

  当t在1~8 s内时,速度v保持不变,

  v=7.5(1<t≤8);

  当t在8~10 s内时,速度v与时间t是一次函数关系,设一次函数为v=kt+b(k≠0),又一次函数图象过(8,7.5)和(10,0),

  则 解得

  ∴v=-3.75t+37.5(8<t≤10).

  即

  专题9 方程思想

  【专题解读】 方程思想是指对通过列方程(组)使所求数学问题得解的方法.在函数及其图象中,方程思想的应用主要体现在运用待定系数法确定函数关系式.

  例11 已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(-3,-2)及点B(1,6),求此函数关系式,并作出函数图象.

  分析 可将由已知条件给出的坐标分别代入y=kx+b中,通过解方程组求出k,b的值,从而确定函数关系式.

  解:由题意可知 ∴

  ∴函数关系式为y=2x+4.图象如图14-110所示.

  2011中考真题精选

  一、选择题

  1. (2011新疆乌鲁木齐,5,4)将直线y=2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为( )

  A、y=2x-1B、y=2x-2 C、y=2x+1D、y=2x+2

  考点:一次函数图象与几何变换。

  专题:探究型。

  分析:根据函数图象平移的法则进行解答即可.

  解答:解:直线y=2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为y=2(x-1),

  即y=2x-2.

  故选B.

  点评:本题考查的是一次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减,左加右减”的原则是解答此题的关键.

  2. (2011南昌,8,3分)已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限,则b的值可以是( )

  A.?2 B.?1 C.0 D.2

  考点:一次函数图象与系数的关系.

  专题:探究型.

  分析:根据一次函数的图象经过第一、二、三象限判断出b的符号,再找出符合条件的b的可能值即可.

  解答:解:∵一次函数的图象经过第一、二、三象限,∴b>0,∴四个选项中只有2符合条件.故选D.

  点评:本题考查的是一次函数的图象与系数的关系,即一次函数y=kx+b(k≠0)中,当b<0时,函数图象与y轴相较于负半轴.

  3. (2011陕西,4,3分)下列四个点,在正比例函数 的图像上的点是( )

  A.(2,5) B.(5,2) C.(2,-5) D.(5,-2)

  考点:一次函数图象上点的坐标特征。

  专题:函数思想。

  分析:根据函数图象上的点的坐标特征,经过函数的某点一定在函数的图象上,一定满足函数的解析式.根据正比例函数的定义,知 是定值.

  解答:解:由 ,得 =? ; A、∵ = ,故本选项错误; B、∵ = ,故本选项错误; C、∵ =? ,故本选项错误; D、∵ =? ,故本选项正确;

  故选D.

  点评:本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征,经过函数的某点一定在函数的图象上.在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式.

  4. (2011?台湾1,4分)坐标平面上,若点(3,b)在方程式3y=2x?9的图形上,则b值为何( )

  A、?1B、2 C、3D、9

  考点:一次函数图象上点的坐标特征。

  专题:计算题。

  分析:利用一次函数图象上点的坐标性质,将点(3,b)代入即可得出b的值.

  解答:解:把点(3,b)代入3y=2x?9,得:b=?1.

  故选A.

  点评:本题考查的知识点是:在这条直线上的点的坐标一定适合这条直线的解析式.

  5.(2011台湾,9,4分)如图的坐标平面上,有一条通过点(-3,-2)的直线L.若四点(-2,a).(0,b).(c,0).(d,-1)在L上,则下列数值的判断,何者正确( )

  A.a=3 B.b>-2 C.c<-3 D.d=2

  考点:一次函数图象上点的坐标特征。

  专题:数形结合。

  分析:根据函数的图象可判断出函数的增减性,从而结合选项即可判断各选项正确与否.

  解答:解:由题意得:此函数为减函数,

  A.-2>-3,故a<-2,故本选项错误;

  B.-3<0,故-2>b,故本选项错误;

  C.0>-2,故c<-3,故本选项正确;

  D.-1>-2,故b<-3,故本选项错误.

  故选C.

  点评:本题考查一次函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是掌握函数的增减性,另外本题还可以利用特殊值设出符合题意的函数解析式,然后代入判断.

  6. (2011重庆江津区,4,4分)直线y=x?1的图象经过的象限是( )

  A、第一、二、三象限B、第一、二、四象限

  C、第二、三、四象限D、第一、三、四象限

  考点:一次函数的性质。

  专题:计算题。

  分析:由y=x?1可知直线与y轴交于(0,?1)点,且y随x的增大而增大,可判断直线所经过的象限.

  解答:解:直线y=x?1与y轴交于(0,?1)点,且k=1>0,y随x的增大而增大,

  ∴直线y=x?1的图象经过第一、三、四象限.

  故选D.

  点评:本题考查了一次函数的性质.关键是根据图象与y轴的交点位置,函数的增减性判断图象经过的象限.

  7. (2011湖北咸宁,8,3分)如图,在平面直角坐标系中,□OABC的顶点A在 轴上,顶点B的坐标为(6,4).若直线l经过点(1,0),且将□OABC分割成面积相等的两部分,则直线l的函数解析式是( )

  A、y=x+1B、 C、y=3x?3D、y=x?1

  考点:待定系数法求一次函数解析式;平行四边形的性质;中心对称。

  分析:首先根据条件l经过点D(1,0),且将?OABC分割成面积相等的两部分,求出E点坐标,然后设出函数关系式,再利用待定系数法把D,E两点坐标代入函数解析式,可得到答案.

  解答:解:设D(1,0),

  ∵线l经过点D(1,0),且将?OABC分割成面积相等的两部分,

  ∴OD=OE=1,

  ∵顶点B的坐标为(6,4).

  ∴E(5,4)

  设直线l的函数解析式是y=kx+b,

  ∵图象过D(1,0),E(5,4),

  解得: ,

  ∴直线l的函数解析式是y=x?1.

  故选D.

  点评:此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式,解题的关键是求出E点坐标.

  8(2011,台湾省,15,5分)如图的坐标平面上有四直线L1、L2、L3、L4.若这四直线中,有一直线为方程式3x?5y+15=0的图形,则此直线为何?( )

  A、L1B、L2

  C、L3D、L4

  考点:一次函数的图象;一次函数图象上点的坐标特征。

  专题:推理填空题。

  分析:求出直线与X、Y轴的交点坐标(0,3),(?5,0),根据图象即可选出答案.

  解答:解:将x=0代入3x?5y+15=0得:y=3,

  ∴方程式3x?5y+15=0的图形与y轴的交点为(0,3),

  将y=0代入3x?5y+15=0得:x=?5,

  ∴方程式3x?5y+15=0的图形与x轴的交点为(?5,0),

  观察图形可得直线L1与x、y轴的交点恰为(?5,0)、(0,3),

  ∴方程式3x?5y+15=0的图形为直线L1.

  故选A.

  点评:本题主要考查对一次函数的图象,一次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握,能根据一次函数的图象进行判断是接此题的关键.

  9. (2011山东滨州,6,3分)关于一次函数y=-x+1的图像,下列所画正确的是( )

  【考点】一次函数的图象.

  【专题】常规题型.

  【分析】根据函数的k为-1,b=1,可判断函数为减函数,且与y轴的交点在y轴的负半轴.

  【解答】解:由题意得:函数的k为-1,b=1,

  ∴函数为减函数,且与y轴的交点在y轴的负半轴,

  结合选项可得C符合题意.

  故选C.

  【点评】本题考查一次函数的图象的知识,难度不大,对于此类题目要先判断增减性及与y轴交点的位置.

  10. (2011山东济南,10,3分)一次函数y=(k?2)x+3的图象如图所示,则k的取值范围是( )

  A.k>2 B.k<2C.k>3D.k<3

  考点:一次函数图象与系数的关系。

  专题:探究型。

  分析:先根据一次函数的图象得到关于k的不等式,求出k的取值范围即可.

  解答:解:一次函数的图象过二、四象限可知,k?2<0,

  解得k<2.

  故选B.

  点评:本题考查的是一次函数的性质,即一次函数y=kx+b(k≠0)中,当k<0时,函数的图象过二、四象限.

  11. (2011泰安,13,3分)已知一次函数y=mx+n-2的图象如图所示,则m.n的取值范围是( )

  A.m>0,n<2B.m>0,n>2 C.m<0,n<2D.m<0,n>2

  考点:一次函数图象与系数的关系。

  专题:探究型。

  分析:先根据一次函数的图象经过二.四象限可知m<0,再根据函数图象与y轴交与正半轴可知n-2>0,进而可得出结论.

  解答:解:∵一次函数y=mx+n-2的图象过二.四象限,

  ∴m<0,

  ∵函数图象与y轴交与正半轴,

  ∴n-2>0,

  ∴n>2.

  故选D.

  点评:本题考查的是一次函数的图象,即直线y=kx+b所在的位置与k.b的符号有直接的关系.k>0时,直线必经过一.三象限.k<0时,直线必经过二.四象限.b>0时,直线与y轴正半轴相交.b=0时,直线过原点;b<0时,直线与y轴负半轴相交.

  12. (2011成都,21,4分)在平面直角坐标系xOy中,点P(2,a)在正比例函数 的图象上,则点Q(a,3a-5)位于第 象限.

  考点:一次函数图象上点的坐标特征;点的坐标。

  专题:数形结合。

  分析:把点P坐标代入正比例函数解析式可得a的值,进而根据点的Q的横纵坐标的符号可得所在象限.

  解答:解:∵点P(2,a)在正比例函数 的图象上,

  ∴a=1,

  ∴a=1,3a-5=-2,

  ∴点Q(a,3a-5)位于第四象限.

  故答案为:四.

  点评:考查一次函数图象上点的坐标特征;得到a的值是解决本题的突破点.

  13. (2011四川雅安,10,3分)已知一次函数y=kx+b,k从2,?3中随机取一个值,b从1,?1,?2中随机取一个值,则该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为( )

  A. B. C. D.

  考点:列表法与树状图法;一次函数的性质。

  分析:根据已知画出树状图,再利用一次函数的性质该一次函数的图象经过二、三、四象限时,k<0,b<0,即可得出答案.

  解答:解:∵k从2,?3中随机取一个值,b从1,?1,?2中随机取一个值,

  ∴可以列出树状图:

  ∴该一次函数的图象经过二、三、四象限时,k<0,b<0,

  ∴当k=?3,b=?1,时符合要求,

  ∴该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为: ,

  故选:C.

  点评:此题主要考查了一次函数的性质以及树状图法求概率,熟练的应用一次函数知识得出k,b的符号是解决问题的关键.

  14. (2011湖南怀化,7,3分)在平面直角坐标系中,把直线y=x向左平移一个单位长度后,其直线解析式为( )

  A.y=x+1B.y=x?1

  C.y=xD.y=x?2

  考点:一次函数图象与几何变换。

  专题:探究型。

  分析:根据“左加右减”的原则进行解答即可.

  解答:解:由“左加右减”的原则可知,在平面直角坐标系中,把直线y=x向左平移一个单位长度后,

  其直线解析式为y=x+1.

  故选A.

  点评:本题考查的是一次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.

  15.(2011年广西桂林,8,3分)直线 一定经过点( ).

  A.(1,0) B.(1,k) C.(0,k) D.(0,-1)

  考点:一次函数图象上点的坐标特征.

  分析:根据一次函数y=kx+b(k≠0)与y轴的交点为(0,b)进行解答即可.

  答案:解:∵直线y=kx-1中b=-1,

  ∴此直线一定与y轴相较于(0,-1)点,

  ∴此直线一定过点(0,-1).

  故选D.

  点评:本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,即一次函数y=kx+b(k≠0)与y轴的交点为(0,b).3. (2011四川雅安10,3分)已知一次函数 , 从 中随机取一个值, 从 中随机取一个值,则该一次函数的图像经过二.三.四象限的概率为( )

  A B C D

  考点:列表法与树状图法;一次函数的性质。

  分析:根据已知画出树状图,再利用一次函数的性质该一次函数的图象经过二、三、四象限时,k<0,b<0,即可得出答案.

  解答:∵k从2,?3中随机取一个值,b从1,?1,?2中随机取一个值,

  ∴可以列出树状图

  ∴该一次函数的图象经过二、三、四象限时,k<0,b<0,

  ∴当k=?3,b=?1时符合要求,

  ∴当k=?3,b=?2时符合要求,

  ∴该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为 ,

  故选A.

  1.(2011?湖南张家界,8,3)关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是( )

  A、 B、 C、 D、

  考点:一次函数的图象。

  分析:根据图象与y轴的交点直接解答即可.

  解答:解:令x=0,则函数y=kx+k2+1的图象与y轴交于点(0,k2+1),∵k2+1>0,∴图象与y轴的交点在y轴的正半轴上.

  故选C.

  点评:本题考查一次函数的图象,考查学生的分析能力和读图能力.

  16.(2011?江西,5,3)已知一次函数y=?x+b的图象经过第一、二、四象限,则b的值可以是( )

  A、?2B、?1 C、0D、2

  考点:一次函数图象与系数的关系。

  分析:根据一次函数的图象经过第一、二、四象限判断出b的符号,再找出符合条件的b的可能值即可.

  解答:解:∵一次函数的图象经过第一、二、四象限,

  k=?1,

  ∴b>0,

  ∴四个选项中只有2符合条件.

  故选D.

  点评:本题考查的是一次函数的图象与系数的关系,即一次函数y=kx+b(k≠0)中,当b<0时,函数图象与y轴相较于负半轴.

  17.(2011年江西省,5,3分)已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限,则b的值可以是( )

  A.-2 B.-1 C.0 D.2

  考点:一次函数图象与系数的关系.

  专题:探究型.

  分析:根据一次函数的图象经过第一、二、三象限判断出b的符号,再找出符合条件的b的可能值即可.

  解答:解:∵一次函数的图象经过第一、二、三象限,

  ∴b>0,

  ∴四个选项中只有2符合条件.

  故选D.

  点评:本题考查的是一次函数的图象与系数的关系,即一次函数y=kx+b(k≠0)中,当b<0时,函数图象与y轴相较于负半轴.

  18. (2011安徽省芜湖市,7,4分)已知直线y=kx+b经过点(k,3)和(1,k),则k的值为( )

  A、 B、

  C、 D、

  考点:待定系数法求一次函数解析式;解一元二次方程-直接开平方法。

  分析:运用待定系数法求一次函数解析式,代入后求出k,b的值即可.

  解答:解:∵直线y=kx+b经过点(k,3)和(1,k),

  ∴将(k,3)和(1,k),代入解析式得:

  解得:k=± ,b=0,

  则k的值为:± .

  故选B.

  点评:此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及直接开平方法解一元二次方程,将已知点代入得出二元一次方程组是解决问题的关键.

  19.2011广州,9,3分)当实数x的取值使得 有意义时,函数y=4x+1中y的取值范围是( )

  A.y≥-7 B. y≥9 C. y>9 D. y≤9

  【考点】函数值;二次根式有意义的条件.

  【专题】计算题.

  【分析】易得x的取值范围,代入所给函数可得y的取值范围.

  【解答】解:由题意得x-2≥0,

  解得x≥2,

  ∴4x+1≥9,

  即y≥9.

  故选B.

  【点评】考查函数值的取值的求法;根据二次函数被开方数为非负数得到x的取值是解决本题的关键.

  20. (2010广东佛山,8,3分)下列函数的图象在每一个象限内,y值随x值的增大而增大的是( )

  A. B. C. D.

  考点二次函数的性质;一次函数的性质;反比例函数的性质

  分析一次函数当k大于0时,y值随x值的增大而增大,反比例函数系数k为负时,y值随x值的增大而增大,对于二次函数根据其对称轴判断其在区间上的单调性.

  解答解:A、对于一次函数y=?x+1,k<0,函数的图象在每一个象限内,y值随x值的增大而减小,故本选项错误,

  B、对于二次函数y=x2?1,当x>0时,y值随x值的增大而增大,当x<0时,y值随x值的增大而减小,故本选项错误,

  C、对于反比例函数 ,k>0,函数的图象在每一个象限内,y值随x值的增大而减小,故本选项错误,

  D、对于反比例函数 ,k<0,函数的图象在每一个象限内,y值随x值的增大而增大,故本选项正确,故选D.

  点评本题主要考查二次函数、一次函数和反比例函数的性质,解答本题的关键是熟练掌握各个函数在每个象限内的单调性.

  21. (2011湖南常德,16,3分)设min{x,y}表示x,y两个数中的最小值,例如min{0,2}=0,min{12,8}=8,则关于x的函数y可以表示为( )

  A. B.

  C. y =2x D. y=x+2

  考点:一次函数的性质。

  专题:新定义。

  分析:根据题意要求及函数性质,可对每个选项加以论证得出正确选项.

  解答:解:根据已知,在没有给出x的取值范围时,不能确定2x和x+2的大小,所以不能直接表示为,C:y =2x,D:y=x+2.

  当x<2时,可得:x+x<x+2,即2x<x+2,可表示为y=2x.

  当x≥2时,可得:x+x≥x+2,即2x≥x+2,可表示为y=x+2.

  故选:A.

  点评:此题考查的是一次函数的性质,解题的关键是根据已知和函数性质讨论得出.

  22. (2011?玉林,6,3分)已知二次函数y=ax2的图象开口向上,则直线y=ax?1经过的象限是( )

  A、第一、二、三象限B、第二、三、四象限

  C、第一、二、四象限D、第一、三、四象限

  考点:二次函数图象与系数的关系;一次函数图象与系数的关系。

  专题:函数思想。

  分析:二次函数图象的开口向上时,二次项系数a>0;一次函数y=kx+b(k≠0)的一次项系数k>0、b<0时,函数图象经过第一、三、四象限.

  解答:解:∵二次函数y=ax2的图象开口向上,

  ∴a>0;

  又∵直线y=ax?1与y轴交与负半轴上的?1,

  ∴y=ax?1经过的象限是第一、三、四象限.

  故选D.

  点评:本题主要考查了二次函数、一次函数图象与系数的关系.二次函数图象的开口方向决定了二次项系数a的符号.

  23. (2011贵州遵义,7,3分)若一次函数 的函数值 随 的增大而减小,则 的取值范围是

  A. B. C. D.

  【考点】一次函数的性质.

  【专题】探究型.

  【分析】根据一次函数的性质列出关于m的不等式,求出m的取值范围即可.

  【解答】解:∵一次函数y=(2-m)x-2的函数值y随x的增大而减小,

  ∴2-m<0,

  ∴m>2.

  故选D.

  【点评】本题考查的是一次函数的性质,即一次函数y=kx+b(k≠0)中,当k<0时,y随x的增大而减小.

  24. (2011河北,5,2分)一次函数y=6x+1的图象不经过( )

  A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限

  考点:一次函数的性质。

  专题:存在型;数形结合。

  分析:先判断出一次函数y=6x+1中k的符号,再根据一次函数的性质进行解答即可.

  解答:解:∵一次函数y=6x+1中k=6>0,b=1>0,

  ∴此函数经过一.二.三象限,

  故选D.

  点评:本题考查的是一次函数的性质,即一次函数y=kx+b(k≠0)中,当k>0时,函数图象经过一.三象限,当b>0时,函数图象与y轴正半轴相交.

  25.(2011清远,9,3分)一次函数y=x+2的图象大致是( )

  考点:一次函数的图象.

  专题:数形结合.

  分析:根据一次函数y=x+2与x轴和y轴的交点,结合一次函数图象的性质便可得出答案.

  解答:解:一次函数y=x+2,当x=0时,y=2;当y=0时,x=-2,故一次函数y=x+2图象经过(0,2)(-2,0);故根据排除法可知A选项正确.故选A.

  点评:本题主要考查了一次函数的性质,可用数形结合的思想进行解答,这也是速解习题常用的方法.

  26. (2011杭州,7,3分)一个矩形被直线分成面积为x,y的两部分,则y与x之间的函数关系只可能是( )

  A. B. C. D.

  考点:一次函数的应用;一次函数的图象.

  分析:因为个矩形被直线分成面积为x,y的两部分,矩形的面积一定,y随着x的增大而减小,但是x+y=k(矩形的面积是一定值),由此可以判定答案.

  解答:解:因为x+y=k(矩形的面积是一定值),

  整理得y=-x+k,

  由此可知y是x的一次函数,,图象经过二、四象限,x、y都不能为0,且x>0,y>0,图象位于第一象限,

  所以只有A符合要求.

  故选A.

  点评:此题主要考查实际问题的一次函数的图象与性质,解答时要熟练运用.

  二、填空题

  1. (2011江苏镇江常州,16,3分)已知关于x的一次函数y=kx+4k?2(k≠0).若其图象经过原点,则k= ,若y随着x的增大而减小,则k的取值范围是 k<0 .

  考点:一次函数的性质;待定系数法求一次函数解析式.

  分析:(1)若其图象经过原点,则4k?2=0,即可求出k的值;(2)若y随着x的增大而减小,则一次项系数当k<0时,图象经过二.四象限.

  解答:解:(1)当其图象经过原点时:

  4k?2=0,

  k= ;

  (2)当y随着x的增大而减小时:

  k<0.

  故答案为:k= ;k<0.

  点评:本题主要考查一次函数的性质,解题的关键是熟练掌握一次函数的性质.正确的确定一次函数的一次项系数和常数项.

  2. (2011内蒙古呼和浩特,12,3)已知关于x的一次函数y=mx+n的图象如图所示,则 可化简为______.

  考点:二次根式的性质与化简;一次函数图象与系数的关系.

  专题:数形结合.

  分析:根据一次函数图象与系数的关系,确定m、n的符号,然后由绝对值、二次根式的化简运算法则解得即可.

  解答:解:根据图示知,关于x的一次函数y=mx+n的图象经过第一、二、四象限,∴m<0;

  又∵关于x的一次函数y=mx+n的图象与y轴交与正半轴,∴n>0;

  ∴ =n-m-(-m)=n.故答案是:n.

  点评:本题主要考查了二次根式的性质与化简、一次函数图象与系数的关系.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象,当k>0时,经过第一、二、三象限;当k<0时,经过第一、二、四象限.

  3. (2011陕西,15,3分)若一次函数 的图像经过 一、二、四象限,则m的取值范围是 .

  考点:一次函数的性质。

  专题:计算题;数形结合。

  分析:根据一次函数的性质进行分析:由图形经过一、二、四象限可知(2m?1)<0,3?2m>0,即可求出m的取值范围

  解答:解:∵y=(2m?1)x+3?2m的图象经过 一、二、四象限

  ∴(2m?1)<0,3?2m>0

  ∴解不等式得:m< ,m<

  ∴m的取值范围是m< .

  故答案为:m<

  点评:本题主要考查一次函数的性质、求不等式,关键是确定好一次函数的一次项系数和常数项.

  4. 一次函数y=3x-2的函数值y随自变量x值的增大而 增大(填“增大”或“减小”).

  考点:一次函数的性质.

  专题:存在型.

  分析:根据一次函数的性质判断出一次函数y=3x-2中k的符号,再根据一次函数的增减性进行解答即可.

  解答:解:∵一次函数y=3x-2中,k=3>0,

  ∴函数值y随自变量x值的增大而增大.

  故答案为:增大.

  点评:本题考查的是一次函数的性质,即一次函数y=kx+b(k≠0)中,k>0时,y随x的增大而增大.

  5. (2011四川广安,17,3分)写出一个具体的 随 的增大而减小的一次函数解析式________________________.

  考点:一次函数的性质

  专题:一次函数

  分析:所写的一次函数 只需满足 即可.

  解答:答案不唯一,如:y=-x+1

  点评:一次函数 的增减性与 的符号有关,而与 的符号无关.当 时, 随 的增大而增大;当 时, 随 的增大而减小.

  6.(2011天津,13,3分)已知一次函数的图象经过点(0,1),且满足y随x的增大而增大,则该一次函数的解析式可以为 y=x+1(答案不唯一,可以是形如y=kx+1,k>0的一次函数) .

  考点:一次函数的性质。

  专题:开放型。

  分析:先设出一次函数的解析式,再根据一次函数的图象经过点(0,1)可确定出b的值,再根据y随x的增大而增大确定出k的符号即可.

  解答:解:设一次函数的解析式为:y=kx+b(k≠0),

  ∵一次函数的图象经过点(0,1),

  ∴b=1,

  ∵y随x的增大而增大,

  ∴k>0,

  故答案为y=x+1(答案不唯一,可以是形如y=kx+1,k>0的一次函数).

  点评:本题考查的是一次函数的性质,即一次函数y=kx+b(k≠0)中,k>0,y随x的增大而增大,与y轴交于(0,b),当b>0时,(0,b)在y轴的正半轴上.

  7. 表1给出了直线l1上部分点(x,y)的坐标值,表2给出了直线l2上部分点(x,y)的坐标值.

  那么直线l1和直线l2交点坐标为 (2,?1) .

  考点:两条直线相交或平行问题。

  专题:图表型。

  分析:通过观察直线l1上和l2上部分点的坐标值,会发现当x=2时,y的值都是?1,即两直线都经过点(2,?1),即交点.

  解答:解:通过观察表可知,直线l1和直线l2交点坐标为(2,?1).

  故答案为:(2,?1)

  点评:解答此题的关键是找出两条直线都经过的点,即交点.

  8. (2011山东省潍坊, 14,3分)一个y关于x的函数同时满足两个条件:①图象过(2,1)点;②当 时.y随x的增大而减小,这个函数解析式为_______________ (写出一个即可)

  【考点】二次函数的性质;一次函数的性质;反比例函数的性质.

  【专题】开放型.

  【分析】本题的函数没有指定是什么具体的函数,可以从一次函数,反比例函数,二次函数三方面考虑,只要符合条件①②即可.

  【解答】解:符合题意的函数解析式可以是y= ,y=-x+3,y=-x2+5等,(本题答案不唯一)

  故答案为:y= ,y=-x+3,y=-x2+5等.

  【点评】本题考查了一次函数,反比例函数,二次函数的性质.关键是从三种函数解析式上考虑,只要符合题意即可.

  9.(2011四川广安,17,3分)写出一个具体的 随 的增大而减小的一次函数解析式________________________.

  考点:一次函数的性质

  专题:一次函数

  分析:所写的一次函数 只需满足 即可.

  解答:答案不唯一,如:y=-x+1

  点评:一次函数 的增减性与 的符号有关,而与 的符号无关.当 时, 随 的增大而增大;当 时, 随 的增大而减小.

  10. (2011浙江义乌,11,4分)一次函数y=2x-1的图象经过点(a,3),则a= 2 .

  考点:一次函数图象上点的坐标特征。

  专题:计算题。

  分析:把所给点的横纵坐标代入一次函数可得a的值.

  解答:解:∵一次函数y=2x-1的图象经过点(a,3),

  ∴3=2a-1,

  解得a=2.

  故答案为:2.

  点评:本题考查一次函数图象上点的坐标特点;用到的知识点为:点在函数解析式上,点的横纵坐标就适合该函数解析式.

  11. (2011?贵阳12,4分)一次函数y=2x?3的图象不经过第 二 象限.

  考点:一次函数的性质。

  专题:探究型。

  分析:先根据一次函数的性质判断出此函数图象所经过的象限,再进行解答即可.

  解答:解:∵一次函数y=2x?3中,k=2>0,

  ∴此函数图象经过一、三象限,

  ∵b=?3<0,

  ∴此函数图象与y轴负半轴相交,

  ∴此一次函数的图象经过一、三、四象限,不经过第二象限.

  故答案为:二.

  点评:本题考查的是一次函数的性质,即一次函数y=kx+b(k≠0)中,当k>0时,函数图象经过一、三象限,当b<0时,(0,b)在y轴的负半轴,直线与y轴交于负半轴.

  12. (2011湖南怀化,12,3分)一次函数y=?2x+3中,y的值随x值增大而 增大 .(填“增大”或“减小”)

  考点:一次函数的性质。

  专题:探究型。

  分析:先判断出一次函数y=?2x+3中k的符号,再根据一次函数的增减性进行解答即可.

  解答:解:∵一次函数y=?2x+3中k=2>0,

  ∴y的值随x值增大而增大.

  故答案为:增大.

  点评:本题考查的是一次函数的性质,即一次函数y=kx+b(k≠0)中,当k>0时,y随x的增大而增大.

  13. 一次函数y=-3x+2的图象不经过第 三象限.

  【考点】一次函数的性质.

  【分析】根据一次函数的性质容易得出结论.

  【解答】解:因为解析式y=-3x+2中,-3<0,2>0,图象过一、二、四象限,故图象不经过第三象限.

  【点评】在直线y=kx+b中,当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.

  14.(2011?株洲14,3分)如图,直线l过A、B两点,A(0,?1),B(1,0),则直线l的解析式为 y=x?1 .

  考点:待定系数法求一次函数解析式。

  专题:计算题;数形结合。

  分析:从图象上找到直线所过的两个点的坐标,利用待定系数法求解即可.

  解答:解:设函数解析式为y=kx+b,

  将(1,0),(0,?1)分别代入解析式得,

  解得 ,

  函数解析式为y=x?1.

  故答案为y=x?1.

  点评:此题考查了待定系数法求函数解析式,从图象所在坐标系找出关键点是列方程组的必要步骤.

  15.(2011吉林长春,13,3分)如图,一次函数y=kx+b(k<0)的图象经过点A.当y<3时,x的取值范围是 x>2 .

  考点:一次函数的图象.

  专题:数形结合.

  分析:根据一次函数的图象可直接进行解答.

  解答:解:由函数图象可知,此函数是减函数,当y=3时x=2,故当y<3时,x>2.故答案为:x>2.

  点评:本题考查的是一次函数的图象,利用数形结合求出x的取值范围是解答此题的关键.

  16.(2011辽宁沈阳,13,4)如果一次函数y=4x+b的图象经过第一、三、四象限,那么b的取值范围是 b<0 .

  考点:一次函数图象与系数的关系。

  专题:数形结合。

  分析:根据图象在坐标平面内的位置关系确定k,b的取值范围,从而求解.

  解答:解:根据一次函数的性质和图象可知:k>0时,直线必经过一、三象限.k<0时,直线必经过二、四象限.

  b>0时,直线与y轴正半轴相交.b=0时,直线过原点;b<0时,直线与y轴负半轴相交.

  根据题意一次函数y=4x+b的图象经过第一、三、四象限可知:b<0.

  故答案为:b<0.

  点评:本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系.解答本题注意理解:直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系.k>0时,直线必经过一、三象限.

  k<0时,直线必经过二、四象限.b>0时,直线与y轴正半轴相交.b=0时,直线过原点;b<0时,直线与y轴负半轴相交.

  17.(2011辽宁沈阳,13,4分如果一次函数Y=4X+B的图象经过第一、三、四象限,那么B的取值范围是 .

  考点:一次函数图象与系数的关系。

  专题:数形结合。

  分析:根据图象在坐标平面内的位置关系确定K,B的取值范围,从而求解.

  解答:解:根据一次函数的性质和图象可知:k>0时,直线必经过一、三象限.k<0时,直线必经过二、四象限.

  b>0时,直线与y轴正半轴相交.b=0时,直线过原点;b<0时,直线与y轴负半轴相交.

  根据题意一次函数y=4x+b的图象经过第一、三、四象限可知:b<0.

  故答案为:b<0.

  点评:本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置k、b的关系.解答本题注意理解:直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系.k>0时,直线必经过一、三象限.k<0时,直线必经过二、四象限.b>0时,直线与y轴正半轴相交.b=0时,直线过原点;b<0时,直线与y轴负半轴相交.

  18.(2011巴彦淖尔,11,3分)已知点A(?5,a),B(4,b)在直线y=?3x+2上,则a b.(填“>”“<”或“=”号 )

  考点:一次函数图象上点的坐标特征。

  专题:探究型。

  分析:先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性,再比较出?5与4的大小即可解答.

  解答:解:∵直线y=?3x+2中,k=?3<0,

  ∴此函数是减函数,

  ∵?5<4,

  ∴a>b.

  故答案为:>.

  点评 :本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,根据题意判断出一次函数的增减性是解答此题的关键.

  三、解答题

  1. (2011湖北咸宁,23,10分)在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度.

  (1)实验操作:

  在平面直角坐标系中描出点P从点O出发,平移1次后,2次后,3次后可能到达的点,并把相应点的坐标填写在表格中:

  P从点O出发平移次数可能到达的点的坐标

  1次(0,2),(1,0)

  2次

  3次

  (2)观察发现:

  任一次平移,点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上,如:平移1次后在函数 y=?2x+2 的图象上;平移2次后在函数 y=?2x+4 的图象上…由此我们知道,平移n次后在函数 y=?2x+2n 的图象上.(请填写相应的解析式)

  (3)探索运用:

  点P从点O出发经过n次平移后,到达直线y=x上的点Q,且平移的路径长不小于50,不超过56,求点Q的坐标.

  考点:一次函数图象与几何变换;坐标与图形变化-平移。

  专题:探究型。

  分析:(1)根据点的平移特点描出每次平移后P点的位置即可;

  (2)先根据P点平移一次后的点的坐标求出过此点的函数解析式,再根据函数图象平移的性质解答即可;

  (3)设点Q的坐标为(x,y),求出Q点的坐标,得出n的取值范围,再根据点Q的坐标为正整数即可进行解答.

  解答:解:(1)如图所示:

  P从点O出发平移次数可能到达的点

  的坐标

  1次

  2次(0,4),(1,2),(2,0)

  3次(0,6),(1,4),(2,2),(3,0)

  (2)设过(0,2),(1,0)点的函数解析式为:y=kx+b(k≠0),

  则 ,

  解得 .

  故第一次平移后的函数解析式为:y=?2x+2;

  ∴答案依次为:y=?2x+2;y=?2x+4;y=?2x+2n.

  (3)设点Q的坐标为(x,y),依题意, .

  解这个方程组,得到点Q的坐标为 .

  ∵平移的路径长为x+y,

  ∴50≤ ≤56.

  ∴37.5≤n≤42.(9分)

  ∵点Q的坐标为正整数,

  ∴点Q的坐标为(26,26),(28,28).

  点评:本题考查的是一次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.

  2. (2011?郴州)求与直线y=x平行,并且经过点P(1,2)的一次函数的解析式.

  考点:两条直线相交或平行问题。

  专题:计算题。

  分析:平行于直线y=x,则k=1,再根据待定系数法求解即可.

  解答:解:根据题意,设一次函数解析式为y=kx+b,

  ∵与直线y=x平行,∴k=1,

  由点P(1,2)得:1+b=2,

  解得:b=1,

  ∴函数解析式为:y=x+1,

  所以一次函数的解析式为:y=x+1.

  点评:本题主要考查两条直线相交或平行问题,难度不大,掌握用待定系数法求函数解析式,根据平行得到k=1是解本题的关键.

  3. 在平面直角坐标系中,已知 三个顶点的坐标分别为

  (1)画出 ,并求出 所在直线的解析式.

  (2)画出 绕点 顺时针旋转 后得到的 ,并求出 在上述旋转过程中扫过的面积.

  考点:作图-旋转变换;待定系数法求一次函数解析式;扇形面积的计算.

  分析:(1)利用待定系数法将A(-1,2),C(-2,9)代入解析式求出一次函数解析式即可;

  (2)根据AC的长度,求出S=S扇形+S△ABC,就即可得出答案.

  解答:(1)如图所示, 即为所求.

  设 所在直线的解析式为

  ∴ 解得 , ∴ .

  (2)如图所示, 即为所求.

  由图可知, , = .

  点评:此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及扇形面积求法,得出扇形面积等于

  S=S扇形+S△ABC是解决问题的关键.

  4. 2011福建福州,19,12分)如图,在平面直角坐标系中,A.B均在边长为1的正方形网格格点上.

  (1)求线段AB所在直线的函数解析式,并写出当0≤y≤2时,自变量x的取值范围;

  (2)将线段AB绕点B逆时针旋转90°,得到线段BC,请在答题卡指定位置画出线段BC.若直线BC的函数解析式为y=kx+b,则y随x的增大而 (填“增大”或“减小”).

  考点:待定系数法求一次函数解析式;一次函数图象与几何变换.

  分析:(1)根据一次函数图象知A(1,0),B(0,2),然后将其代入一次函数的解析式,利用待定系数法求该函数的解析式;

  (2)根据旋转的性质,在答题卡中画出线段BC,然后根据直线BC的单调性填空.

  解答:(1)设直线AB的函数 解析式为y=kx+b,依题意,得A(1,0),B(0,2)∴

  解得 ,∴直线AB的函数解析式为y=?2x+2,当0≤y≤2时,自变量x的取值范围是0≤x≤1.

  (2)线段BC即为所求.增大

  点评:本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式.一次函数图象与几何变换.解答此题时,采用了“数形结合”的数学思想,使问题变得形象.直观,降低了题的难度.

  5. (2011浙江绍兴,21,10分)在平面直角坐标系中.过一点分?作坐标轴的垂线,若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等,则这个点叫做和谐点.例如.图中过点P分?作x轴,y轴的垂线.与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等,则点P是和谐点.

  (1)判断点M(l,2),N(4,4)是否为和谐点,并说明理由;

  (2)若和谐点P(a,3)在直线y=?x+b(b为常数)上,求a,b 的值.

  考点:一次函数综合题;一次函数图象上点的坐标特征;三角形的面积。

  专题:计算题。

  分析:(1)计算1×2≠2×(1+2),4×4=2×(4+4)即可;

  (2)当a>0时,根据(a+3)×2=3a,求出a,进一步求出b;当a<0时,根据(?a+3)×2=?3a求出a进一步求出b.

  解答:(1)解:∵1×2≠2×(1+2),4×4=2×(4+4),

  ∴点M不是和谐点,点N是和谐点.

  (2)解:由题意得:当a>0时,(a+3)×2=3a,

  ∴a=6,

  点P(a,3)在直线 y=?x+b上,代入得:b=9

  当a<0时,(?a+3)×2=?3a,

  ∴a=?6,

  点P(a,3)在直线y=?x+b上,代入得:b=?3,

  ∴a=6,b=9或a=?6,b=?3.

  点评:本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征,三角形的面积等知识点的理解和掌握,理解题意并根据题意进行计算是解此题的关键.

  6. (2011湖州,19,6分)已知:一次函数y=kx+b的图象经过M(0,2),(1,3)两点.

  (1)求k,b的值;

  (2)若一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A(a,0),求a的值.

  考点:待定系数法求一次函数解析式;一次函数图象上点的坐标特征.

  分析:(1)根据待定系数法求出一次函数解析式即可;

  (2)根据图象与函数坐标轴交点坐标求法得出a的值.

  解答:解:(1)由题意,得 解得 ∴k、b的值分别是1和2;

  (2)由(1)得y=x+2,∴当y=0时,x=-2,即a=-2.

  点评:此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与坐标轴交点求法,此题比较典型应熟练掌握.

  7. (2011?铜仁地区19,10分)(2)已知一次函数y=kx+b的图象经过两点A(1,1),B(2,?1),求这个函数的解析式.

  分析:(2)将A(1,1),B(2,?1)代入函数解析式,解方程组即可求得k与b的值,则可得这个函数的解析式.

  (2)根据题意得: ,

  解得: ,

  ∴函数的解析式是:y=?2x+3

  综合验收评估测试题

  (时间:120分钟 满分:120分)

  一、选择题(每小题3分,共30分)

  1.如图14-111所示,饮水桶中的水由图①的位置下降到图②的位置的过程中,如果水减少的体积是y,水位下降的高度是x,那么能够表示y与x之间函数关系的图象是(如图14-112所示) ( )

  2.一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限,则下列说法正确的是 ( )

  A.k>0,b>0 B.k>0,b<0

  C.k<0,b>0 D.k<0,b<0

  3.小明从家走了10分钟后到达了一个离家900米的报亭,看了10分钟的报纸,然后用了15分钟沿原路回到家,下列图象中能表示小明离家距离y(米)与时间x(分)关系的是(如图14-113所示) ( )

  4.直线y=kx+b与两坐标轴的交点如图14-114所示,当y<0时,x的取值范围是 ( )

  A.x>2 B.x<2

  C.x>-1 D.x<-1

  5.某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同,以每月用车路程x km计算,甲汽车租赁公司每月收取的租赁费为y1元,乙汽车租赁公司每月收取的租赁费为y2元,若y1,y2与x之间的函数关系如图14-115所示,其中x=0对应的函数值为月固定租赁费,则下列判断错误的是 ( )

  A.当月用车路程为2000 km时,两家汽车租赁公司租赁费用相同

  B.当月用车路程为2300 km 时,租赁乙汽车租赁公司的车比较合算

  C.除去月固定租赁费,甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多

  D.甲租赁公司平均每公里收取的费用比乙租赁公司少

  6.函数 和 的图象如图14-116所示,当y1>y2时,x的取值范围是 ( )

  A.x<-1 B.-1<x<2

  C.x<-1或x>2 D.x>2

  7.已知四条直线y=kx-3,y=-1,y=3和x=1所围成的四边形的面积是12.则k的值为 ( )

  A.1或-2 B.2或-1 C.3 D.4

  8.如图14-117所示反映的过程是:小强从家去菜地浇水,又去玉米地除草,然后回家.如果菜地到玉米地的距离为a千米,小强在玉米地除草比在菜地浇水多用的时间为b分钟,则a,b的值分别为 ( )

  A.1.1,8 B.0.9,3 C.1.1,12 D.0.9,8

  9.函数y=-x与函数y=x+1的图象的交点坐标为 ( )

  A. B.

  C. D.

  10.函数y=ax+b①和y=bx+a②(ab≠0)在同一平面直角坐标系中的图象(如图14-118所示)可能是 ( )

  二、填空题(每小题3分,共30分)

  11.函数 的自变量x的取值范围是 .

  12.写出一个y随x增大而增大的一次函数的解析式 .

  13.一根弹簧原长为12 cm,它所挂物体的质量不能超过15 kg,并且每挂1 kg物体就伸长 cm.则挂重物后的弹簧长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式是 ,自变量x的取值范围是 .

  14.若一次函数的图象经过第一、三、四象限,则它的解析式可以为 .

  15.已知直线y=kx+b过点A(x1,y1)和B(x2,y2),若k<0,且x1<x2,则y1 y2.(填“>”或“<”)

  16.(天津中考)已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9),则该函数的图象与y轴交点的坐标为 .

  17.在平面直角坐标系中,将直线y=-2x+1向下平移4个单位长度后,所得直线的解析式为 .

  18.如图14-119所示的是小明从学校到家行进的路程s(米)与时间t(分)的函数图象.观察图象,从中得到如下信息:①学校离小明家1000米;②小明用了20分钟到家;③小明前10分钟走了路程的一半;④小明后10分钟比前10分钟走得快.其中正确的有 (填序号).

  19.如图14-120所示,直线y=kx+b经过A(2,1),B(-1,-2)两点,则不等式组 >kx+b>-2的解集为 .

  20.用棋子按如图14-121所示的方式摆图形,依照此规律,第n个图形比第(n-1)个图形多 枚棋子.

  三、解答题(第21~23小题各8分,第24~26小题各12分,共60分)

  21.我们知道,海拔高度每上升1千米,温度下降6℃,某时刻,益阳地面温度为20℃.设高出地面x千米处的温度为y℃.

  (1)写出y与x之间的函数关系式;

  (2)已知益阳碧云峰高出地面约500米,求这时山顶的温度大约是多少摄氏度;

  (3)此刻,有一架飞机飞过益阳上空,若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃,求飞机离地面的高度为多少千米.

  22.如图14-122所示,在平面直角坐标系中,一条直线l与x轴相交于点A(2,0).与正比例函数y=kx(k≠0,且k为常数)的图象相交于点P(1,1).

  (1)求k的值;

  (2)求△AOP的面积.

  23.已知一次函数y=kx-4,当x=2时,y=-3.

  (1)求一次函数的解析式;

  (2)将该函数的图象向上平移6个单位,求平移后的图象与x轴交点的坐标.

  24.一列长为120米的火车匀速行驶,经过一条长为160米的隧道,从车头驶入隧道入口到车尾离开隧道出口共用14秒.设车头驶入隧道入口x秒时,火车在隧道内的长度为y米.

  (1)求火车行驶的速度;

  (2)当0≤x≤14时,求y与x的函数关系式;

  (3)在如图14-123所示的平面直角坐标系中画出y与x的函数图象.

  25.小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料,学校与天一阁的路程是4千米.小聪骑自行车,小明步行,当小聪从原路回到学校时,小明刚好到达天一阁.图14-124中折线O-A-B-C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系,请根据图象回答下列问题.

  (1)小聪在天一阁查阅资料的时间为 分钟,小聪返回学校的速度为 千米/分钟;

  (2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系式;

  (3)当小聪与小明迎面相遇时,他们离学校的路程是多少千米?

  26.某加油站五月份营销一种油品的销售利润y(万元)与销售量x(万升)之间的函数关系的图象如图14-125所示,该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元,截止到15日进油时的销售利润为5.5万元.(销售利润=(售价-成本价)×销售量)

  请你根据图象(如图14-125所示)及加油站五月份该油品的所有销售记录(如图14-126所示)提供的信息,解答下列问题.

  (1)求销售量x为多少时,销售利润为4万元;

  (2)分别求线段AB与BC所对应的函数关系式;

  (3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率,那么,在OA,AB,BC三段所表示的销售信息中,哪一段的利润率最大?(直接写出答案)

  参考答案

  1.C[提示:由图①到图②的过程中,水减少的体积是均匀变化的,随着水位下降高度的增加,水减少的体积也逐渐增加.]

  2.A

  3.D[提示:图象上的数要和题目中的条件对应.]

  4.B[提示:y<0时,图象处于x轴的下方,对应的x的值小于2.]

  5.D[提示:由图象知,选项A,B都正确,由于直线y1比y2上升得快,所以除去月固定租赁费,甲公司每公里收取的费用比乙公司多.]

  6.C[提示:y1>y2时,y1的图象在y2图象的上方,即x<-1或x>2.]

  7.A[提示:当直线y=kx-3与y=-1和y=3的交点在直线x=1的左侧时,交点坐标分别为 , ,则四边形面积为 解得k=-2.当直线y=kx-3与y=-1和y=3的交点在x=1的右侧时.四边形面积为 ,解得k=1.故选A.]

  8.D[提示:由图象可知,菜地和玉米地之间的距离为2-1.1=0.9(千米),a=0.9;小明在菜地浇水的时间为10分钟,在玉米地除草的时间为18分钟,18-10=8(分),b=8.故选D.]

  9.A[提示:解方程组 ]

  10.D[提示:因为ab≠0,所以a≠0且b≠0,故C不正确;从A,B,D的图象分析a,b异号,假设a>0,b<0,则直线y=ax+b经过第一、三、四象限,直线y=bx+a经过第一、二、四象限.]

  11.x≥3[提示:根据二次根式和分式有意义的条件知 所以x≥3.]

  12.y=x[提示:答案不唯一,只要一次函数关系式中的k>0即可.]

  13. 0≤x≤15

  14.y=x-2[提示:答案不唯一,只要一次函数关系式中的k>0,b<0即可.]

  15.>[提示:∵k<0,∴y随x的增大而减小,又∵x1<x2,∴y1>y2.]

  16.(0,-1)[提示:由待定系数法可求出过(3,5)和(-4,-9)的直线的解析式为y=2x-1,直线与y轴的交点坐标为(0,-1).]

  17.y=-2x-3[提示:直线向下平移,k不变,b减小.]

  18.①②④

  19.-1<x<2[提示:用待定系数法可求出k=1,b=-1,不等式组为 >x-1>-2,解不等式组可得-1<x<2.]

  20.3n-2[提示:第2个图形比第1个图形多(2×3-2)枚,第3个图形比第2个图形多(3×3-2)枚,第4个图形比第3个图形多(4×3-2)枚,…,第n个图形比第n-1个图形多(3n-2)枚.]

  21.解:(1)y=20-6x(x≥0). (2)500米=0.5千米,y=20-6×0.5=17(℃).(3)-34=20-6x,x=9.

  22.解:(1)∵点P(1,1)在正比例函数y=kx的图象上,∴1=k×1,∴k=1. (2)S△POA= OA? = ×2×1=1.

  23.解:(1)由已知得-3=2k-4,解得k= ,∴一次函数的解析式为y= x-4. (2)将直线y= x-4向上平移6个单位后得到的直线是y= x+2.∵当y=0时,x=-4,∴平移后的图象与x轴交点的坐标是(-4,0)

  24.解:(1)(120+160)÷14=20(米/秒). (2)当0≤x≤6时,y=20x;当6<x≤8时,y=120;当8<x≤14时,y=120+160-20x=-20x+280.∴ (3)如图14-127所示.

  25.解:(1)15 (2)由图象可知,s是t的正比例函数,设所求函数的解析式为s=kt(k≠0),将(45,4)代入得4=45k,解得k= .∴s与t的函数关系式为 (0≤t≤45). (3)由图象可知,在30≤t≤45的时段内,小聪离开学校的路程s是t的一次函数,设函数解析式为s=mt+n(m≠0),将(30,4),(45,0)代入得 解得 ∴ (30≤t≤45).令 ,解得 .当 时, .即当小聪与小明迎面相遇时,他们离学校的路程是3千米.

  26.解:(1)根据题意,当销售利润为4万元时,销售量为4÷(5-4)=4(万升).答:销售量为4万升时销售利润为4万元.

  (2)点A的坐标为(4,4),从13日到15日的利润为5.5-4=1.5(万元),所以销售量为1.5÷(5.5-4)=1(万升),所以点B的坐标为(5,5.5).设线段AB所对应的函数关系式为y=kx+b,则 解得 所以线段AB所对应的函数关系式为y=1.5x-2(4≤x≤5).从15日到31日共销售5万升,利润为1×1.5+4×(5.5-4.5)=5.5(万元).所以本月销售该油品的利润为5.5+5.5=11(万元),所以点C的坐标为(10,11).设线段BC所对应的函数关系式为y=mx+n,则 解得 所以线段BC所对应的函数关系式为y=1.1x(5≤x≤10).

  直角三角形的再发现

  第二十二讲 直角三角形的再发现

  直角三角形是一类特殊三角形,有着丰富的性质:两锐角互余、斜边的平方是两直角边的平方和、斜边中线等于斜边一半、30°所对的直角边等于斜边一半等,在学习了相似三角形的知识后,我们利用相似三角形法,能得到应用极为广泛的结论.

  如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,则有:

  1.同一三角形中三边的平方关系:AB2=AC2+BC2,

  AC2=AD2+CD2,BC2=CD2+BD2.

  2.角的相等关系:∠A=∠DCD,∠B=∠ACD.

  3.线段的等积式:由面积得 AC×BC=AB×CD;

  由 △ACD∽△CBD∽△ABC,得CD2=AD×BD,AC2=AD×AB,BC2=BD×AB.

  以直角三角形为背景的几何问题,常以下列图形为载体,综合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形,特殊四边形等丰富的知识.

  注 直角三角形被斜边上的高分成的3个直角三角形相似,由此导出的等积式的特点是:一线段是两个三角形的公共边,另两条线段在同一直线上,这些等积式广泛应用于与直角三角形问题的计算与证明中.

  例题求解

  【例1】 等腰三角形ABC的底边长为8cm,腰长5cm,一动点P在底边上从B向C以0.25cm/秒的速度移动,当点P运动到PA与腰垂直的位置时,点P运动的时间为 .

  (江苏省常州市中考题)

  思路点拨 为求BP需作出底边上的高,就得到与直角三角形相关的基本图形,注意动 态过程.

  【例2】 如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,S矩形ABCD=40cm2,S△ABE:S△DBA=1:5,则AE的长为( )

  A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm (青岛市中考题)

  思路点拨 从题设条件及基本图形入手,先建立AB、AD的等式.

  【例3】 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,DB为BC的中点,E为AC上一点,点G在BE上,连结DG并延长交AE于F,若∠FGE=45°.

  (1)求证:BD×BC=BG×BE;

  (2)求证:AG⊥BE;

  (3)若E为AC的中点,求EF:FD的值.(盐城市中考题)

  思路点拨 发现图形中特殊三角形、基本图形、线段之间的关系是解本例的基础.(1)证明△GBD∽△CBE;(2)证明△ABG∽EBA;(3)利用相似三角形,把求 的值转化为求其他线段的比值.

  【例4】 如图,H、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且BH=BQ,过B作HC的垂线,垂足为P.求证:DP⊥PQ. (“祖冲之杯”邀请赛试题)

  思路点拨 因∠BPQ+∠QPC=90°,要证DP⊥PQ,即证∠QPC+∠DPC=90°,只需证∠BPQ=∠DPC,只要证明△BPQ∽△CPD即可.

  注 题设条件有中点,图形中有与直角三角形相关的基本图形,给我们以丰富的联想,单独应用或组合应用可推出许多结论.因此,读者应不拘泥于给出的思路点拨,多角度探索与思考,寻找更多更好的解 法,以培养我们发散思的能力.

  【例5】 已知△ABC中,BC>AC,CH是AB边上的高,且满足 ,试探讨∠A与∠B的关系,井加以证明. (武汉市选拔赛试题)

  思路点拨 由题设条件易想到直角三角形中的基本图形、基本结论,可猜想出∠A与∠B的关系,解题的关键是综合运用勾股定理、比例线段的性质, 推导判定两个三角形相似的条件.

  注 构造逆命题是提出问题的一个常用方法,本例是在直角三角形被斜边上的高分成的相似三角形得出结论基础上提出的一个逆命题,读者你能提出新的问题吗?并加以证明.

  学力训练

  1.如图,已知正方形ABCD的边长是1,P是CD边的中点 ,点Q在线段BC上,

  当BQ= 时,三角形ADP与三角形QCP相似.

  (云南省中考题)

  2.如图,Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高,DF⊥CB于E,若BE=6,CE=4,则

  AD= .

  3.如图,平行四边形ABCD中,AB=2,BC=2 ,AC=4,过AC的中点O作EF⊥AC交AD于E,交BC于F,则EF= . (重庆市竞赛题)

  4.P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点,过点P作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线共有( )

  A.1条 B. 2条 C.3条 D.4条

  (2001年安徽省中考题)

  5.在△ABC中,AD是高,且AD2=BD×CD,那么∠BAC的度数是( )

  A.小于90° B.等于90° C.大于90° D.不确定

  6. 如 图,矩形ABCD中,AB= ,BC=3,AE⊥BD于E,则EC=( )

  A. B. C. D.

  7.如图,在矩形ABCD中,E是CD的中点,BE⊥ AC交AC于F,过F作FG∥AB交AE于G,求证:AG2=AF×FC.

  8.如图,在平行四边形ABCD中,∠DBC=45°,DE⊥BC于E,BF⊥CD于F,DE、BF相交于H,BF、AD的延长线相交于G.

  求证;(1)AB=BH;(2)AB2=GA×HE. (青岛市中考题)

  9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠CAB交BC于点D,过点C作CE⊥AD于E,CE的延长线交AB于点F,过点E作EG∥BC交AB于点G,AE×AD=16,AB=4

  (1)求证:CE=EF;

  (2)求EG的长.

  (河南省中考题)

  10.如图,直角梯形ABCD中,∠A=90°,AC⊥BD,已知 ,则 = .

  (江苏省竞赛题)

  11.如图,在Rt△ABC中,两条直角边AB、AC的长分别为l厘米、2厘米,那么直角的角平分线的长度等于 厘米.

  12.如图,点D、E分别在△ABC的边AC和BC上,∠C=90°,DE∥AB,且3DE=2AB,AE=13,BD=9,那么AB的长为 .

  ( “我爱 数学”初中数学夏令营试题)

  13.如图,△ABC为等腰直角三角形,∠C=90°,若AD= AC,CE= BC,则∠1与∠2的大小关系是( )

  A.∠1>∠2 B.∠1<∠2 C.∠1=∠2 D.无法确定

  (天津市竞赛题)

  14.如图,△ABC中,CD⊥AB交AB于点D,有下列条件:

  ①∠A=∠BCD;②∠A+∠BCD=∠ADC;③ ;④BC2=BD×BA.

  其中,一定能判断△ABC是直角三角形的共有( )

  A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 (2003年河南省竞赛题)

  15.如图,在直角梯形ABCD中, AB=7,AD=2,DC=3,如果边AD上的点P使得以P,

  A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似,那么这样的点P有( )

  A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

  16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是角平分线,DE∥BC交AC于点E,DF∥ AC交BC于点F.

  求证:(1)四边形CEDF是正方形;(2)CD2=AE×BF.

  (山东省竞赛题)

  17.如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD⊥AB于D,已知Rt△ABC的三边长都是整数,且BD=113,求Rt△BCD与Rt△ACD的周长之比.

  (全国初中数学联赛题 )

  18.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的平分线AD交BC边于D,求证: .

  (昆明市竞赛题)

  19.如图,已知边长为a的正方形ABCD,在AB、AD上分别取点P、S,连结PS,将Rt△SAP绕正方形中心O旋转180°得Rt△QCR,从而得四边形PQRS.试判断四边形PQRS能否变化成矩形?若能,设PA= x,SA=y ,请说明x 、y具有什么关系时,四边形PQRS是矩形;若不能,请说明理由.

  (山东省济南市中考题)

  20.如图,在△ABC中,∠ACB=90°

  (1)当点D在斜边AB内时,求证: ;

  (2)当点D与点A重合时,(1)中的等式是否存在?请说明理由;

  (3)当点D在BA的延长线上时,(1)中的等式是否存在?请说明理由.

  立方根

  学习目标:

  1.理解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根;

  2.掌握用立方运算求一些数的立方根;

  重点、难点:理解立方和开立方、平方根与立方根的异同点.

  学习过程

  一.【预学提纲】初步感知、激发兴趣[

  1.棱长为1时,正方体的体积是 ;设棱长为x的正方体体积为2.依题意列方程得: .

  2. 直接说出一些数的立方根.

  [:学*科*网]

  二.【预学练习】初步运用、生成问题

  1.下列判断正确的是( )

  A.64的立方根是 4 B.(-1) 的立方根是1

  C. 的立方根是2, D.如果 =a,则a=0

  2. 求下列各数的立方根:

  (1)64 (2)- (3)9

  解:(1)因为( )3=64,所以64的立方根是 ,即 = .

  (2)因为( )3=- ,所以- 的立方根是 ,即 = .

  (3)9的立方根是 .

  3.填空: = ; = .

  三.【新知探究】师生互动、揭示通法

  问题1.求下列各数的立方根

  (1)-125 (2) -0.008 (3)

  四. 【解疑助学】生生互动、突出重点

  问题2.求下列各式中的x:

  (1)(2x-1)3=125 (2)x3-3=1 (3)(x+1)3=5

  问题3. 计算下列各式的值

  五.【变式拓展】能力提升、突破难点

  1. 已知x2+y2+4x-6y+13=0

  (1)请你用配方的数学方法求出x、y的值;

  (2)计算 的值.

  2.已知- ,求a的值.

  六.【回扣目标】学有所成、悟出方法

  1. 立方和开立方的区别:

  立方运算中,已知底数和指数,求幂;而开立方运算中,已知 和 ,求 .

  2. 立方和开立方的联系:

  立方与开立方是一对 运算.

  3.立方根与平方根的意义的区别,填下表:

  被开方数类别正数0负数

  平方根有两个平方根

  立方根

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