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一元二次方程实数根错例剖析的教案

时间:2022-04-25 09:06:25

一元二次方程实数根错例剖析的教案

一元二次方程实数根错例剖析的教案

一元二次方程实数根错例剖析的教案

  1、关于x的方程ax2+bx+c=0,当a_____时,方程为一元一次方程;当 a_____时,方程为一元二次方程。

  2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=_______,当△_______时,方程有两个相等的实数根,当△_______时,方程有两个不相等的实数根,当△________时,方程没有实数根。

  例1 下列方程中两实数根之和为2的方程是()

  (A) x2+2x+3=0 (B) x2-2x+3=0 (c) x2-2x-3=0 (D) x2+2x+3=0

  错答: B

  正解:C

  错因剖析:由根与系数的关系得x1+x2=2,极易误选B,又考虑到方程有实数根,故由△可知,方程B无实数根,方程C合适。

  例2 若关于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0 两个实数根之和大于-4,则k的取值范围是( )

  (A) k>-1 (B) k<0 (c) -1< k<0 (D) -1≤k<0

  错解 :B

  正解:D

  错因剖析:漏掉了方程有实数根的前提是△≥0

  例3(2000广西中考题) 已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2x-1=0有两个不相等的实根,求k的取值范围。

  错解: 由△=(-2)2-4(1-2k)(-1) =-4k+8>0得 k<2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范

  围是 -1≤k<2

  错因剖析:漏掉了二次项系数1-2k≠0这个前提。事实上,当1-2k=0即k=时,原方程变为一次方程,不可能有两个实根。

  正解: -1≤k<2且k≠

  例4 (2002山东太原中考题) 已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0的两个实数根,当x12+x22=15时,求m的值。

  错解:由根与系数的关系得

  x1+x2= -(2m+1), x1x2=m2+1,

  ∵x12+x22=(x1+x2)2-2 x1x2

  =[-(2m+1)]2-2(m2+1)

  =2 m2+4 m-1

  又∵ x12+x22=15

  ∴ 2 m2+4 m-1=15

  ∴ m1 = -4 m2 = 2

  错因剖析:漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式△≥0。因为当m = -4时,方程为x2-7x+17=0,此时△=(-7)2-4×17×1= -19<0,方程无实数根,不符合题意。

  正解:m = 2

  例5 若关于 x的方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0有实数根,求m的取值范围。

  错解:△=[-2(m+2)]2-4(m2-1) =16 m+20

  ∵ △≥0

  ∴ 16 m+20≥0,

  ∴ m≥ -5/4

  又 ∵ m2-1≠0,

  ∴ m≠±1

  ∴ m的取值范围是m≠±1且m≥ -

  错因剖析:此题只说(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0是关于未知数x的方程,而未限定方程的次数,所以在解题时就必须考虑m2-1=0和m2-1≠0两种情况。当m2-1=0时,即m=±1时,方程变为一元一次方程,仍有实数根。

  正解:m的取值范围是m≥-

  例6 已知二次方程x2+3 x+a=0有整数根,a是非负数,求方程的整数根。

  错解:∵方程有整数根,

  ∴△=9-4a>0,则a<2。25

  又∵a是非负数,∴a=1或a=2

  令a=1,则x= -3±,舍去;令a=2,则x1= -1、 x2= -2

  ∴方程的整数根是x1= -1, x2= -2

  错因剖析:概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分,当a=0时,还可以求出方程的另两个整数根,x3=0, x4= -3

  正解:方程的整数根是x1= -1, x2= -2 , x3=0, x4= -3

  练习1、(01济南中考题)已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2。(1)求k的取值范围;(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由。

  解:(1)根据题意,得△=(2k-1)2-4 k2>0 解得k<

  ∴当k<时,方程有两个不相等的实数根。

  (2)存在。如果方程的两实数根x1、x2互为相反数,则x1+ x2=-=0,

  解得k=。经检验k=是方程-的解。

  ∴当k=时,方程的两实数根x1、x2互为相反数。

  读了上面的解题过程,请判断是否有错误?如果有,请指出错误之处,并直接写出正确答案。

  解:上面解法错在如下两个方面:

  (1)漏掉k≠0,正确答案为:当k<时且k≠0时,方程有两个不相等的实数根。

  (2)k=。不满足△>0,正确答案为:不存在实数k,使方程的两实数根互为相反数

  练习2(02广州市)当a取什么值时,关于未知数x的方程ax2+4x-1=0只有正实数根 ?

  解:(1)当a=0时,方程为4x-1=0,∴x=

  (2)当a≠0时,∵△=16+4a≥0 ∴a≥ -4

  ∴当a≥ -4且a≠0时,方程有实数根。

  又因为方程只有正实数根,设为x1,x2,则:

  x1+x2=->0 ;

  x1。 x2=->0 解得 :a<0

  综上所述,当a=0、a≥ -4、a<0时,即当-4≤a≤0时,原方程只有正实数根。

  以上数例,说明我们在求解有关二次方程的问题时,往往急于寻求结论而忽视了实数根的存在与“△”之间的关系。

  1、运用根的判别式时,若二次项系数为字母,要注意字母不为零的条件。

  2、运用根与系数关系时,△≥0是前提条件。

  3、条件多面时(如例5、例6)考虑要周全。

  1、当m为何值时,关于x的方程x2+2(m-1)x+ m2-9=0有两个正根?

  2、已知,关于x的方程mx2-2(m+2)x+ m+5=0(m≠0)没有实数根。求证:关于x的方程

  (m-5)x2-2(m+2)x + m=0一定有一个或两个实数根。

  考题汇编

  1、(2000年广东省中考题)设x1、 x2是方程x2-5x+3=0的两个根,不解方程,利用根与系数的关系,求(x1-x2)2的值。

  2、(2001年广东省中考题)已知关于x的方程x2-2x+m-1=0

  (1)若方程的一个根为1,求m的值。

  (2)m=5时,原方程是否有实数根,如果有,求出它的实数根;如果没有,请说明理由。

  3、(2002年广东省中考题)已知关于x的方程x2+2(m-2)x+ m2=0有两个实数根,且两根的平方和比两根的积大33,求m的值。

  4、(2003年广东省中考题)已知x1、x2为方程x2+px+q=0的两个根,且x1+x2=6,x12+x22=20,求p和q的值。

  课题:一元二次方程实数根错例剖析课

  精选学生在解一元二次方程有关问题时出现的典型错例加以剖析,帮助学生找出产生错误的原因和纠正错误的方法,使学生在解题时少犯错误,从而培养学生思维的批判性和深刻性。

  1、关于x的方程ax2+bx+c=0,当a_____时,方程为一元一次方程;当 a_____时,方程为一元二次方程。

  2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=_______,当△_______时,方程有两个相等的实数根,当△_______时,方程有两个不相等的实数根,当△________时,方程没有实数根。

  例1 下列方程中两实数根之和为2的方程是()

  (A) x2+2x+3=0 (B) x2-2x+3=0 (c) x2-2x-3=0 (D) x2+2x+3=0

  错答: B

  正解:C

  错因剖析:由根与系数的关系得x1+x2=2,极易误选B,又考虑到方程有实数根,故由△可知,方程B无实数根,方程C合适。

  例2 若关于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0 两个实数根之和大于-4,则k的取值范围是( )

  (A) k>-1 (B) k<0 (c) -1< k<0 (D) -1≤k<0

  错解 :B

  正解:D

  错因剖析:漏掉了方程有实数根的前提是△≥0

  例3(2000广西中考题) 已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2x-1=0有两个不相等的实根,求k的取值范围。

  错解: 由△=(-2)2-4(1-2k)(-1) =-4k+8>0得 k<2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范

  围是 -1≤k<2

  错因剖析:漏掉了二次项系数1-2k≠0这个前提。事实上,当1-2k=0即k=时,原方程变为一次方程,不可能有两个实根。

  正解: -1≤k<2且k≠

  例4 (2002山东太原中考题) 已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0的两个实数根,当x12+x22=15时,求m的值。

  错解:由根与系数的关系得

  x1+x2= -(2m+1), x1x2=m2+1,

  ∵x12+x22=(x1+x2)2-2 x1x2

  =[-(2m+1)]2-2(m2+1)

  =2 m2+4 m-1

  又∵ x12+x22=15

  ∴ 2 m2+4 m-1=15

  ∴ m1 = -4 m2 = 2

  错因剖析:漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式△≥0。因为当m = -4时,方程为x2-7x+17=0,此时△=(-7)2-4×17×1= -19<0,方程无实数根,不符合题意。

  正解:m = 2

  例5 若关于 x的方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0有实数根,求m的取值范围。

  错解:△=[-2(m+2)]2-4(m2-1) =16 m+20

  ∵ △≥0

  ∴ 16 m+20≥0,

  ∴ m≥ -5/4

  又 ∵ m2-1≠0,

  ∴ m≠±1

  ∴ m的取值范围是m≠±1且m≥ -

  错因剖析:此题只说(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0是关于未知数x的方程,而未限定方程的次数,所以在解题时就必须考虑m2-1=0和m2-1≠0两种情况。当m2-1=0时,即m=±1时,方程变为一元一次方程,仍有实数根。

  正解:m的取值范围是m≥-

  例6 已知二次方程x2+3 x+a=0有整数根,a是非负数,求方程的整数根。

  错解:∵方程有整数根,

  ∴△=9-4a>0,则a<2。25

  又∵a是非负数,∴a=1或a=2

  令a=1,则x= -3±,舍去;令a=2,则x1= -1、 x2= -2

  ∴方程的整数根是x1= -1, x2= -2

  错因剖析:概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分,当a=0时,还可以求出方程的另两个整数根,x3=0, x4= -3

  正解:方程的整数根是x1= -1, x2= -2 , x3=0, x4= -3

  练习1、(01济南中考题)已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2。(1)求k的取值范围;(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由。

  解:(1)根据题意,得△=(2k-1)2-4 k2>0 解得k<

  ∴当k<时,方程有两个不相等的实数根。

  (2)存在。如果方程的两实数根x1、x2互为相反数,则x1+ x2=-=0,

  解得k=。经检验k=是方程-的解。

  ∴当k=时,方程的两实数根x1、x2互为相反数。

  读了上面的解题过程,请判断是否有错误?如果有,请指出错误之处,并直接写出正确答案。

  解:上面解法错在如下两个方面:

  (1)漏掉k≠0,正确答案为:当k<时且k≠0时,方程有两个不相等的实数根。

  (2)k=。不满足△>0,正确答案为:不存在实数k,使方程的两实数根互为相反数

  练习2(02广州市)当a取什么值时,关于未知数x的方程ax2+4x-1=0只有正实数根 ?

  解:(1)当a=0时,方程为4x-1=0,∴x=

  (2)当a≠0时,∵△=16+4a≥0 ∴a≥ -4

  ∴当a≥ -4且a≠0时,方程有实数根。

  又因为方程只有正实数根,设为x1,x2,则:

  x1+x2=->0 ;

  x1。 x2=->0 解得 :a<0

  综上所述,当a=0、a≥ -4、a<0时,即当-4≤a≤0时,原方程只有正实数根。

  以上数例,说明我们在求解有关二次方程的问题时,往往急于寻求结论而忽视了实数根的存在与“△”之间的关系。

  1、运用根的判别式时,若二次项系数为字母,要注意字母不为零的条件。

  2、运用根与系数关系时,△≥0是前提条件。

  3、条件多面时(如例5、例6)考虑要周全。

  1、当m为何值时,关于x的方程x2+2(m-1)x+ m2-9=0有两个正根?

  2、已知,关于x的方程mx2-2(m+2)x+ m+5=0(m≠0)没有实数根。求证:关于x的方程

  (m-5)x2-2(m+2)x + m=0一定有一个或两个实数根。

  考题汇编

  1、(2000年广东省中考题)设x1、 x2是方程x2-5x+3=0的两个根,不解方程,利用根与系数的关系,求(x1-x2)2的值。

  2、(2001年广东省中考题)已知关于x的方程x2-2x+m-1=0

  (1)若方程的一个根为1,求m的值。

  (2)m=5时,原方程是否有实数根,如果有,求出它的实数根;如果没有,请说明理由。

  3、(2002年广东省中考题)已知关于x的方程x2+2(m-2)x+ m2=0有两个实数根,且两根的平方和比两根的积大33,求m的值。

  4、(2003年广东省中考题)已知x1、x2为方程x2+px+q=0的两个根,且x1+x2=6,x12+x22=20,求p和q的值。

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